3．1 双曲线及其标准方程学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．知识点一 双曲线的定义1．平面内到两个定点 F1，F2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线．这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距．2．关于“小于|F1F2|”：①若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以 F1，F2 为端点的两条射线(包括端点)；②若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在．3．若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的一支．4．若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是线段 F 1F2 的中垂线．知识点二 双曲线的标准方程1．双曲线两种形式的标准方程焦点所在的坐标轴x 轴y 轴标准方程－＝1( a >0 ， b >0) －＝1( a >0 ， b >0) 图形焦点坐标F1( － c ,0) ， F 2( c ,0) F1(0 ，－ c ) ， F 2(0 ， c ) a，b，c 的关系式a 2 ＋ b 2 ＝ c 2 2.焦点 F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若 x2项的系数为正，则焦点在 x 轴 上；若 y2项的系数为正，则焦点在 y 轴 上．3．双曲线的焦点位置不确定时可设其标准方程为 Ax2＋By2＝1(AB<0)．4．标准方程中的两个参数 a 和 b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，注意这里的 b2＝c 2 － a 2 与椭圆中的 b2＝a 2 － c 2 相区别．1．平面内到两定点距离的差的绝对值等于常数的点的集合是双曲线．( × )2．平面内到两定点的距离之差等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的轨迹是双曲线．( × )3．在双曲线方程－＝1(a>0，b>0)中，a2＝b2＋c2.( × )1题型一 求双曲线的标准方程例 1 求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)a＝4，经过点 A；(2)经过点(3,0)，(－6，－3)．考点 双曲线的标准方程的求法题点 待定系数法求双曲线的标准方程解 (1)当焦点在 x 轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把 A 点的坐标代入，得 b2＝－×<0，不符合题意；当焦点在 y 轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把 A 点的坐标代入，得 b2＝9，∴所求双曲线的标准方程为－＝1.(2)设双曲线的方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)， 双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)...
