3．2 双曲线的简单性质学习目标 1.了解双曲线的简单性质(对称性、范围、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.掌握标准方程中 a，b，c，e 间的关系．知识点一 双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a 或 x≤－a，y∈Ry≥a 或 y≤－a，x∈R对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标A1( － a ,0) ， A 2( a ,0) A1(0 ，－ a ) ， A 2(0 ， a ) 实轴和虚轴线段 A1A2叫作双曲线的实轴；线段 B1B2叫作双曲线的虚轴渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)知识点二 双曲线的离心率双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率，记为 e＝，其取值范围是(1 ，＋∞ ) ．e越大，双曲线的张口越大．知识点三 双曲线的相关概念1．双曲线的对称中心叫作双曲线的中心．2．实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，它的渐近线方程是 y＝±x.1．双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点．( × )2．双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔．( √ )3．双曲线 x2－y2＝m(m≠0)的离心率为，渐近线方程为 y＝±x.( √ )4．平行于渐近线的直线与双曲线相交，且只有一个交点．( √ )5．等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率 e＝.( √ )1题型一 由双曲线方程研究其简单性质例 1 求双曲线 9y2－4x2＝－36 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．考点 双曲线的简单性质题点 由双曲线方程求 a，b，c，渐近线解 将 9y2－4x2＝－36 化为标准方程为－＝1，即－＝1，所以 a＝3，b＝2，c＝.因此顶点坐标为 A1(－3,0)，A2(3,0)，焦点坐标为 F1(－，0)，F2(，0)，实轴长 2a＝6，虚轴长 2b＝4，离心率 e＝＝，渐近线方程为 y＝±x＝±x.引申探究求双曲线 nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．解 把方程 nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为－＝1(m>0，n>0)，由此可知，实半轴长 a＝，虚半轴长 b＝，c＝，焦点坐标为(，0)，(－，0)，离心率 e＝＝＝，顶点坐标为(－，0)，(，0)，所以渐近线方程为 y＝±x，即 y＝±x.反思感悟 由双曲线的方程研究简单性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键．(2)由标准方程确定焦点位置，确定 a，b 的值．(3)由 c2＝a2＋b2求出 c 的值，从而写出双曲线的简...
