2.2.2 双曲线的几何性质课堂导学三点剖析一、双曲线的渐近线【例 1】 求双曲线 16x2-9y2=-144 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标、渐近线方程.解析：把方程 16x2-9y2=-144 化为标准方程222234xy =1.因此可知，实半轴长 a=4,虚半轴长 b=3;c=22ba =5,焦点坐标为(0，-5)，(0，5)；离心率 e=45ac;顶点坐标为(0，-4)，(0，4)；渐近线方程为 y=± 34 x.温馨提示双曲线2222byax =1(a＞0,b＞0)的渐近线为 y=±ab x,双曲线2222bxay =1 的渐近线为x=± ab y，即 y=± ba x,应仔细区分两双曲线的渐近线的异同点.二、双曲线的离心率【例 2】 双曲线2222byax =1(a＞1,b＞0)的焦距为 2c,直线 l 过点(a,0)和(0,b),且点(1，0)到直线 l 的距离与点(-1，0)到直线 l 的距离之和 s≥ 54 c.求双曲线的离心率 e 的取值范围.解：直线 l 的方程为byax =1,即 bx+ay-ab=0.由点到直线的距离公式，且 a＞1,得到点(1，0)到直线 l 的距离 d1=22)1(baab.同理得到点(-1，0)到直线 l 的距离：d2=22)1(baab,s=d1+d2=cabbaab2222.由 s≥５４c,得,542ccab 即 5a22ac ≥2c2.于是得 512 e≥2e2,即 4e4-25e2+25≤0.1解不等式，得 45 ≤e2≤5.由于 e＞1＞0,所以 e 的取值范围是25 ≤e≤ 5 .温馨提示本题通过构造法来求离心率的取值范围，考查了不等式的数学思想，点到直线的距离公式，双曲线的基本性质，以及综合运算能力.三、直线与双曲线的位置关系【例 3】 已知直线 y=ax+1 与双曲线 3x2-y2=1 交于 A、B 两点(1)若以 AB 为直径的圆过坐标原点，求实数 a 的值；(2)是否存在这样的实数 a，使 A、B 两点关于直线 y= 21 x 对称？若存在，请求出 a 的值；若不存在，请说明理由.解析：(1)由13,122yxaxy消去 y，得(3-a2)x2-2ax-2=0.①依题意,0,032a即-6 ＜a＜6 且 a≠±3.②设 A(x1,y1),B(x2,y2),则④③ .32 ,32221221axxaaxx 以 AB 为直径的圆过原点，∴OA⊥OB.∴x1x2+y1y2=0.但 y1y2=a2x1x2+a(x1+x2)+1,由③④，x1+x2=232aa,x1x2=232a.∴(a2+1)·232a+a·232aa+1=0.解得 a=±1 且满足②.(2)假设存在实数 a，使 A、B 关于 y= 21 x 对称，则直线 y=ax+1 与 y= 21 x 垂直，∴a· 21 =-1，即 a=-2.直线 l 的方程为 y=-2x+1.将 a=-2 代入③得 x1+...
