专题突破三 离心率的求法一、以渐近线为指向求离心率例 1 已知双曲线两渐近线的夹角为 60°，则双曲线的离心率为________．思维切入 双曲线的两渐近线有两种情况，焦点位置也有两种情况，分别讨论即可．考点 题点 答案 2 或解析 由题意知，双曲线的渐近线存在两种情况．当双曲线的焦点在 x 轴上时，若其中一条渐近线的倾斜角为 60°，如图 1 所示；若其中一条渐近线的倾斜角为 30°，如图 2 所示． 所以双曲线的一条渐近线的斜率 k＝或 k＝，即＝或.又 b2＝c2－a2，所以＝3 或，所以 e2＝4 或，所以 e＝2 或.同理，当双曲线的焦点在 y 轴上时，则有＝或，所以＝或，亦可得到 e＝或 2.综上可得，双曲线的离心率为 2 或.点评 双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，可以借助＝进行互求．一般地，如果已知双曲线离心率的值求渐近线方程，或者已知渐近线方程，求离心率的值，都会有两解(焦点在 x 轴上和焦点在 y 轴上两种情况)，不能忘记分类讨论．跟踪训练 1 中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )A.B.C.D.考点 双曲线的简单几何性质题点 求双曲线的离心率答案 D解析 由题意知，过点(4，－2)的渐近线的方程为y＝－x，∴－2＝－·4，∴a＝2b.1方法一 设 b＝k(k>0)，则 a＝2k，c＝k，∴e＝＝＝.方法二 e2＝＋1＝＋1＝，故 e＝.二、以焦点三角形为指向求离心率例 2 如图，F1和 F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，A 和 B 是以 O 为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为________．思维切入 连接 AF1，在△F1AF2中利用双曲线的定义可求解．考点 双曲线的简单几何性质题点 求双曲线的离心率答案 ＋1解析 方法一 如图，连接 AF1，由△F2AB 是等边三角形，知∠AF2F1＝30°.易知△AF1F2为直角三角形，则|AF1|＝|F1F2|＝c，|AF2|＝c，∴2a＝(－1)c，从而双曲线的离心率 e＝＝1＋.方法二 如图，连接 AF1，易得∠F1AF2＝90°，β＝∠F1F2A＝30°，α＝∠F2F1A＝60°，于是离心率e＝＝＝＝＝＋1.点评 涉及到焦点三角形的题目往往利用圆锥曲线的定义求得的值．跟踪训练 2 椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点为 F1，F2，以 F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．考点 题点 答案 －1解析 方法一 如图，2 △DF1F2为正三角...
