专题突破四 圆锥曲线的定点、定值与最值问题与圆锥曲线有关的定点、定值问题是高考考查的热点，难度较大，此类问题常常作为第19 题或第 20 题的第二问，常以直线与圆锥曲线的位置关系为背景，以坐标运算为基础，一般是证明满足条件的直线过定点，目标代数式为定值，或计算面积、长度、数量积等的最大值、最小值．求解此类问题的关键是引进变化的参数表示直线方程、数量积等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．一、定点问题例 1 已知动圆过定点 A(4,0)，且在 y 轴上截得弦 MN 的长为 8.(1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程；(2)已知点 B(－1,0)，设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P，Q，若 x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线 l 过定点．(1)解 如图，设动圆圆心为 O1(x，y)，由题意，得|O1A|＝|O1M|，当 O1不在 y 轴上时，过 O1作 O1H⊥MN 交 MN 于 H，则 H 是 MN 的中点，∴|O1M|＝，又|O1A|＝，∴＝，化简得 y2＝8x(x≠0)．又当 O1在 y 轴上时，O1与 O 重合，点 O1的坐标为(0,0)也满足方程 y2＝8x，∴动圆圆心的轨迹 C 的方程为 y2＝8x.(2)证明 由题意，设直线 l 的方程为 y＝kx＋b(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将 y＝kx＋b 代入 y2＝8x 中，得 k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0.其中 Δ＝－32kb＋64>0.由根与系数的关系得，x1＋x2＝，①x1x2＝，②因为 x 轴是∠PBQ 的角平分线，所以＝－，1即 y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0③将①，②代入③得 2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0，∴k＝－b，此时 Δ>0，∴直线 l 的方程为 y＝k(x－1)，即直线 l 过定点(1,0)．点评 求定点问题，需要注意两个方面：一是抓“特值”，涉及的定点多在两条坐标轴上，所以可以先从斜率不存在或斜率为 0 的特殊情况入手找出定点，为解题指明方向．二是抓“参数之间的关系”，定点问题多是直线过定点，所以要抓住问题的核心，实质就是求解直线方程中参数之间的关系，所以要熟悉直线方程的特殊形式，若直线的方程为 y＝kx＋b，则直线 y＝kx＋b 恒过点(0，b)，若直线方程为 y＝k(x－a)，则直线恒过点(a,0)．跟踪训练 1 设椭圆 E：＋＝1(a>b>0)的离心率为 e＝，且过点.(1)求椭圆 E 的方程；(2)设椭圆 E 的左顶点是 A，若直线 l：x－my－t＝0 与椭圆 E 相交于不同的两点 M，N(M，N与 A...
