专题突破四 圆锥曲线的定点、定值与最值问题与圆锥曲线有关的定点、定值问题是高考考查的热点，难度较大，此类问题常常作为第19 题或第 20 题的第二问，常以直线与圆锥曲线的位置关系为背景，以坐标运算为基础，一般是证明满足条件的直线过定点，目标代数式为定值，或计算面积、长度、数量积等的最大值、最小值．求解此类问题的关键是引进变化的参数表示直线方程、数量积等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．一、定点问题例 1 已知动圆过定点 A(4,0)，且在 y 轴上截得弦 MN 的长为 8
(1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程；(2)已知点 B(－1,0)，设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P，Q，若 x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线 l 过定点．(1)解 如图，设动圆圆心为 O1(x，y)，由题意，得|O1A|＝|O1M|，当 O1不在 y 轴上时，过 O1作 O1H⊥MN 交 MN 于 H，则 H 是 MN 的中点，∴|O1M|＝，又|O1A|＝，∴＝，化简得 y2＝8x(x≠0)．又当 O1在 y 轴上时，O1与 O 重合，点 O1的坐标为(0,0)也满足方程 y2＝8x，∴动圆圆心的轨迹 C 的方程为 y2＝8x
(2)证明 由题意，设直线 l 的方程为 y＝kx＋b(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将 y＝kx＋b 代入 y2＝8x 中，得 k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0
其中 Δ＝－32kb＋64>0
由根与系数的关系得，x1＋x2＝，①x1x2＝，②因为 x 轴是∠PBQ 的角平分线，所以＝－，1即 y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0③将①，②代入③得 2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝
