6 平面向量数量积的坐标表示[核心必知]1．向量数量积的坐标表示设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a·b＝x1x2＋ y 1y2．即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和．2．度量公式(1)长度公式：设 a＝(x，y)，则|a|＝．(2)夹角公式：设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为 θ，则 cos θ＝．3．两向量垂直的坐标表示设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋ y 1y2＝ 0 ．4．直线的方向向量给定斜率为 k 的直线 l，则向量 m＝(1，k)与直线 l 共线，把与直线 l 共线的非零向量 m 称为直线 l 的方向向量．[问题思考]1．由向量长度的坐标表示，你能否得出平面内两点间的距离公式？提示：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，由向量长度的坐标表示可得|AB|＝||＝.2．坐标形式下两向量垂直与平行的条件有何区别？提示：设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则：a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0，即“相应坐标相乘和为 0”；a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，即“坐标交叉相乘差为 0”．3．直线 l 的方向向量唯一吗？提示：直线 l 的方向向量即是与 l 平行的向量，意指表示该向量的有向线段所在的直线与 l平行或重合，所以直线 l 的方向向量不唯一(有无数个)，但它们都是共线向量．讲一讲1．已知向量 a＝(4，－2)，b＝(6，－3)，求：(1)(2a－3b)·(a＋2b)；(2)(a＋b)2.[尝试解答] 法一：(1) 2a－3b＝(8，－4)－(18，－9)＝(－10，5)，a＋2b＝(4，－2)＋(12，－6)＝(16，－8)，∴(2a－3b)·(a＋2b)＝－160－40＝－200.(2) a＋b＝(10，－5)∴(a＋b)2＝(10，－5)×(10，－5)＝100＋25＝125.法二：由已知可得：a2＝20，b2＝45，a·b＝30(1)(2a－3b)·(a＋2b)＝2a2＋a·b－6b2＝2×20＋30－6×45＝－200.(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝20＋60＋45＝125.进行向量的数量积的坐标运算关键是把握向量数量积的坐标表示，运算时常有两条途径：(1)根据向量数量积的坐标表示直接运算；(2)先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．练一练1．已知 a＝(2，1)，b＝(－1，3)，向量 c 满足 a·c＝4，b·c＝－9.(1)求向量 c 的坐标；(2)求(a＋b)·c 的值．解：(1)设 c＝(x，y)，由得，解得 x＝3，y＝－2.∴c＝(3，－2)．(2)法一： a＋b＝(2，1)＋(－1，3)＝(1，4)，∴(a＋b)·c＝(1，4)·(3，－2)＝1×3＋4×(－2)＝－5.法二：(a＋b)·c＝a·c＋b·c＝(2，1)·(3，－2)＋(－1，3)·(3，－2)＝2×3＋1×(...
