高中数学 第二章 平面向量 6 平面向量数量积的坐标表示学案 北师大版必修4-北师大版高一必修4数学学案VIP专享

§6 平面向量数量积的坐标表示内容要求 1.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算(重点).2.能运用向量数量积的坐标表达式表示两个向量的夹角，会判断两个向量的垂直关系 (难点)．知识点 1 平面向量的数量积、模、夹角、垂直的坐标表示(1)数量积的坐标表示：设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a·b＝x1x2＋ y 1y2.(2)模、夹角、垂直的坐标表示：【预习评价】1．已知向量 a＝(－4,7)，向量 b＝(5,2)，则 a·b 的值是( )A．34B．27C．－43D．－6解析 a·b＝(－4,7)·(5,2)＝－4×5＋7×2＝－6.答案 D2．设向量OA＝(1,0)，OB＝(1,1)，则向量OA，OB的夹角为( )A.B. C. D.解析 cos θ＝＝＝， θ∈[0，]，∴θ＝.答案 C知识点 2 直线的方向向量(1)定义：与直线 l 共线的非零向量 m 称为直线 l 的方向向量．(2)性质：给定斜率为 k 的直线 l 的一个方向向量为 m＝(1 ， k ) ．【预习评价】1．直线 2x－3y＋1＝0 的一个方向向量是( )A．(2，－3)B．(2,3)C．(－3,2)D．(3,2)答案 D2．过点 A(－2,1)且与向量 a＝(3,1)平行的直线方程为________．答案 x－3y＋5＝0题型一 平面向量数量积的坐标运算【例 1】 已知向量 a 与 b 同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求：(1)向量 a 的坐标；(2)若 c＝(2，－1)，求(a·c)·b.解 (1)设 a＝λb＝(λ，2λ)． a·b＝10，∴λ·cos 0°＝10，解得 λ＝2.∴a＝(2,4)．(2)(a·c)·b＝[(2×2＋4×(－1)]·b＝0·b＝0.规律方法 进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积的坐标运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．【训练 1】 已知向量 a＝(1,3)，b＝(2,5)，c＝(2,1)．求：(1)a·b；(2)(a＋b)·(2a－b)；(3)(a·b)·c，a·(b·c)．解 (1)a·b＝(1,3)·(2,5)＝1×2＋3×5＝17.(2) a＋b＝(1,3)＋(2,5)＝(3,8)，2a－b＝2(1,3)－(2,5)＝(2,6)－(2,5)＝(0,1)，∴(a＋b)·(2a－b)＝(3,8)·(0,1)＝3×0＋8×1＝8.(3)(a·b)·c＝17c＝17(2,1)＝(34,17)，a·(b·c)＝a·[(2,5)·(2,1)]＝(1,3)·(2×2＋5×1)＝9(1,3)＝(9,27)．题型二 平面向量的夹角问题【例 2】 已知OP＝(2,1)，OA＝(1,7)，OB＝(5,1)，设 C 是直线 OP 上的一点(其中 O 为坐标原点)．(1)求使CA·CB取得最小值时的OC；(2)对(1)中求出的点 C，求 cos∠ACB.解 (1) 点...