向量的数乘一、考点突破知识点课标要求题型说明向量的数乘1. 掌握向量数乘的运算及其几何意义；2. 理解两个向量共线的含义，掌握向量共线定理；3. 了解向量线性运算的性质及其几何意义选择题填空题1. 向量的数乘要注 意 向 量 的“形”的应用；2. 向量的共线定理是很重要的一维空间定理，要重点掌握二、重难点提示重点：向量数乘的运算及其几何意义。难点：两向量共线的含义及共线定理。一、向量的数乘的定义一般地，实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，记作 λa，它的长度和方向规定如下：（1）|λa|＝|λ||a|；（2）当 λ＞0 时，λa 与 a 的方向相同；当 λ＜0 时，λa 与 a 的方向相反；当 a＝0时，λa＝0；当 λ＝0 时，λa＝0。实数 λ 与向量 a 相乘，叫做向量的数乘。【要点诠释】向量数乘的几何意义由实数与向量的积的定义可以看出，它的几何意义就是将表示向量 a 的有向线段伸长或压缩。当|λ|＞1 时，表示 a 的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的|λ|倍；当|λ|＜1 时，表示 a 的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩小为原来的|λ|倍。二、向量数乘的运算律（1）λ（μa）＝（λμ）a；（2）（λ＋μ）a＝λa＋μa；（3）λ（a＋b）＝λa＋λb。三、向量数乘的作图已知，作。当时，把按原来方向变成原来的倍；当时，把按原来向量的相反方向变成原来的倍。【要点诠释】① 注意数零及零向量：② 实数与向量求积有意义，结果是一个向量，不能进行加减运算，比如是没有意义的。③ 式子时可以改写为，但一定不能改写成或者，两个向量不定义除法运算。四、共线向量定理如果有一个实数 λ，使 b＝λa（a≠0），那么 b 与 a 是共线向量；反之，如果 b 与a（a≠0）是共线向量，那么有且只有一个实数 λ，使得 b＝λa。【要点诠释】准确理解共线向量定理共线向量定理为运用向量判定直线平行或三点共线等几何问题提供了理论依据。理解时应注意以下几点：（1）定理本身包含了正反两个方面：若存在一个实数 λ，使 b＝λa（a≠0），则 a与 b 共线；反之，若 a 与 b 共线（a≠0），则必存在一个实数 λ，使 b＝λa。（2）定理中，之所以限定 a≠0 是由于若 a＝b＝0，虽然 λ 仍然存在，可是 λ 不唯一，定理的正反两个方面不成立。（3）若 a，b 不共线，且 λa＝μb，则必有 λ＝μ＝0。【随堂练习】已知是平面上一定点，是平面上不共...
