向量的数乘一、考点突破知识点课标要求题型说明向量的数乘1
掌握向量数乘的运算及其几何意义；2
理解两个向量共线的含义，掌握向量共线定理；3
了解向量线性运算的性质及其几何意义选择题填空题1
向量的数乘要注 意 向 量 的“形”的应用；2
向量的共线定理是很重要的一维空间定理，要重点掌握二、重难点提示重点：向量数乘的运算及其几何意义
难点：两向量共线的含义及共线定理
一、向量的数乘的定义一般地，实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，记作 λa，它的长度和方向规定如下：（1）|λa|＝|λ||a|；（2）当 λ＞0 时，λa 与 a 的方向相同；当 λ＜0 时，λa 与 a 的方向相反；当 a＝0时，λa＝0；当 λ＝0 时，λa＝0
实数 λ 与向量 a 相乘，叫做向量的数乘
【要点诠释】向量数乘的几何意义由实数与向量的积的定义可以看出，它的几何意义就是将表示向量 a 的有向线段伸长或压缩
当|λ|＞1 时，表示 a 的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的|λ|倍；当|λ|＜1 时，表示 a 的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩小为原来的|λ|倍
二、向量数乘的运算律（1）λ（μa）＝（λμ）a；（2）（λ＋μ）a＝λa＋μa；（3）λ（a＋b）＝λa＋λb
三、向量数乘的作图已知，作
当时，把按原来方向变成原来的倍；当时，把按原来向量的相反方向变成原来的倍
【要点诠释】① 注意数零及零向量：② 实数与向量求积有意义，结果是一个向量，不能进行加减运算，比如是没有意义的
③ 式子时可以改写为，但一定不能改写成或者，两个向量不定义除法运算
四、共线向量定理如果有一个实数 λ，使 b＝λa（a≠0），那么 b 与 a 是共线向量；反之，如果 b 与a（a≠0）是共线向量，那么有且只有一个实数 λ，使得 b＝λa
【要点诠释】准确理解共线
