第二章 圆锥曲线与方程 1 椭圆的定义在解题中的妙用椭圆定义反映了椭圆的本质特征，揭示了曲线存在的简单性质．有些问题，如果恰当运用定义来解决，可以起到事半功倍的效果，下面通过几个例子进行说明．1．求最值例 1 线段|AB|＝4，|PA|＋|PB|＝6，M 是 AB 的中点，当 P 点在同一平面内运动时，PM 的长度的最小值是( )A．2 B.C. D．5解析 由于|PA|＋|PB|＝6>4＝|AB|，故由椭圆定义知 P 点的轨迹是以 M 为原点，A、B 为焦点的椭圆，且 a＝3，c＝2，∴b＝＝.于是 PM 的长度的最小值是 b＝.答案 C2．求动点坐标例 2 椭圆＋＝1 上到两个焦点 F1，F2距离之积最大的点的坐标是________．解析 设椭圆上的动点为 P，由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，所以|PF1|·|PF2|≤2＝2＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号．由解得|PF1|＝|PF2|＝5＝a，此时点 P 恰好是椭圆短轴的两端点，即所求点的坐标为 P(±3,0)．答案 (±3,0)点评 由椭圆的定义可得“|PF1|＋|PF2|＝10”，即两个正数|PF1|，|PF2|的和为定值，结合基本不等式可求|PF1|，|PF2|积的最大值，结合图形可得所求点 P 的坐标．3．求焦点三角形面积例 3 如图所示，已知椭圆的方程为＋＝1，若点 P 在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．解 由已知得 a＝2，b＝，所以 c＝＝1，|F1F2|＝2c＝2.在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos 120°，1即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|，①由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，即|PF2|＝4－|PF1|.②将②代入①，得|PF1|＝.所以 S△PF1F2＝|PF1|·|F1F2|·sin 120°＝××2×＝，即△PF1F2的面积是.点评 在△PF1F2中，由椭圆的定义及余弦定理可得关于|PF1|，|PF2|的方程组，消去|PF2|可求|PF1|.从以上问题，我们不难发现，凡涉及椭圆上的点及椭圆焦点的问题，我们应首先考虑利用椭圆的定义求解. 2 解抛物线问题的五个技巧1．设而不求，整体处理例 1 已知抛物线 y2＝－8x 的弦 PQ 被点 A(－1,1)平分，求弦 PQ 所在的直线方程．解 设弦 PQ 的两个端点分别为 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则有 y＝－8x1，y＝－8x2.两式相减，得 y－y＝－8(x1－x2)，即(y1＋y2)(y1－y2)＝－8(x1－x2)． A 是 PQ 的中点，∴y1＋y2＝2，即 y1－y2＝－4(x1－x2)．∴＝－4，kPQ＝＝－4.故弦 PQ 所在的直线的方程为 y－1＝－4(x＋1)，即 4x＋y＋3＝0.2．巧用定义求最值例 2 定长为...
