向量的数量积一、考点突破知识点课标要求题型说明向量的数量积1. 了解向量的夹角、向量垂直、向量投影等概念；2. 理解平面向量数量积的含义、几何意义及坐标表示；3. 掌握坐标运算公式；4. 解决长度和角度，平行与垂直的问题填空向量的数量积是向量的运算中最重要的一种运算，尤其是垂直、平行、求模求夹角等是考试的热点二、重难点提示重点：平面向量数量积的含义及其几何意义；用向量的坐标求数量积、向量的模及两个向量的夹角，会判断两向量间的垂直关系；难点：运用数量积解决长度、夹角平行、垂直的几何问题；运用向量法与坐标法解决有关问题。一、平面向量的数量积及性质（1）两个向量的夹角：对于两个非零向量 a 和 b，记作＝a，＝b，则∠AOB＝θ 叫作向量 a 与 b 的夹角，其范围是 0°≤θ≤180°，当 θ＝0°时，a 与 b 同向；当 θ＝180°时，a 与 b 反向；当 θ＝90°时，称向量 a 与 b 垂直，记作 a⊥b。（2）向量的数量积：已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角是 θ，我们把数量|a||b|cos θ 叫作向量 a 和 b 的数量积（或内积）记作 a·b，即 a·b＝|a||b|cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为 0。【要点诠释】两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆。（3）向量的数量积的性质及作用设 a 和 b 是非零向量，a 与 b 的夹角为 θ。① a⊥b 等价于 a·b＝0，此性质可用来证明向量垂直或由向量垂直推出等量关系。② 当 a 与 b 同向时，a·b＝|a||b|，当 a 与 b 反向时，a·b＝－|a||b|，即当 a 与 b共线时，|a·b|＝|a||b|，此性质可用来证明向量共线。③ a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化。④ cos θ＝，此性质可求 a 与 b 的夹角或直线的夹角，也可利用夹角取值情况建立方程或不等式用于求参数的值或范围。（4）向量的数量积的运算律已知向量 a，b，c 和实数 λ。① a·b＝b·a；② （λa）·b＝a·（λb）＝λ（a·b）＝λa·b；③ （a＋b）·c＝a·c＋b·c。【要点诠释】平面向量的数量积不满足结合律。二、平面向量的数量积的坐标表示及长度、夹角、垂直的坐标表示（1）则。（2）长度、夹角、垂直的坐标表示① 向量的模：设 a＝（x，y），则 a2＝x2＋y2，即|a|＝。② 向量的夹角公式...
