高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的简单几何性质（2）学案 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学学案VIP专享

2.2.2 椭圆的简单几何性质(二)学习目标 1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识.知识点一 点与椭圆的位置关系思考 1 判断点 P(1，2)与椭圆＋y2＝1 的位置关系.答案 当 x＝1 时，得 y2＝，故 y＝±，而 2>，故点在椭圆外.思考 2 类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点 P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判定吗？答案 当 P 在椭圆外时，＋>1；当 P 在椭圆上时，＋＝1；当 P 在椭圆内时，＋<1.梳理 设 P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a>b>0)，则点 P 与椭圆的位置关系如下表所示：位置关系满足条件P 在椭圆外＋>1P 在椭圆上＋＝1P 在椭圆内＋<1知识点二 直线与椭圆的位置关系思考 1 直线与椭圆有几种位置关系？答案 有三种位置关系，分别有相交、相切、相离.思考 2 如何判断 y＝kx＋m 与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系？答案 联立消去 y 得关于 x 的一元二次方程位置关系解的个数Δ 的取值相交两解Δ>0相切一解Δ＝0相离无解Δ<0梳理 (1)判断直线和椭圆位置关系的方法将直线的方程和椭圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程 .若 Δ>0，则直线和椭圆相交；若 Δ＝0，则直线和椭圆相切；若 Δ<0，则直线和椭圆相离.(2)根与系数的关系及弦长公式设 直 线 l ： y ＝ kx ＋ m(k≠0 ， m 为 常 数 ) 与 椭 圆 ＋ ＝ 1(a>b>0) 相 交 ， 两 个 交 点 为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则线段 AB 叫做直线 l 截椭圆所得的弦，线段 AB 的长度叫做弦长 . 下面我们推导弦长公式：由两点间的距离公式，得|AB|＝，将 y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m 代入上式，得|AB|＝＝＝|x1－x2|，而|x1－x2|＝，所以|AB|＝·，其中 x1＋x2与 x1x2均可由根与系数的关系得到.(3)直线和椭圆相交是三种位置关系中最重要的，判断直线和椭圆相交可利用 Δ>0.例如，直线 l：y＝k(x－2)＋1 和椭圆＋＝1.无论 k 取何值，直线 l 恒过定点(2，1)，而定点(2，1)在椭圆内部，所以直线 l 必与椭圆相交.类型一 点、直线与椭圆位置关系的判断命题角度 1 点与椭圆位置关系的判断例 1 已知点 P(k，1)，椭圆＋＝1，点在椭圆外，则实数 k 的取值范围为________.答案 (－∞，－)∪(，＋∞)解析 据题知＋>1，解得 k<－或 k>.引申探究若将本例中 P 点坐标改为“P(1，k)”呢？答案 (－∞，－)∪(，＋∞)解析 依题＋>1，解得 k2>，即 k<－或 k>.反思与感...