高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的简单几何性质（一）课堂导学案 新人教B版选修2-1-新人教B版高二选修2-1数学学案

2.2.2 椭圆的简单几何性质（一）课堂导学三点剖析一、椭圆的几何性质【例 1】 已知椭圆 x2+（m+3）y2=m（m＞0）的离心率 e=23 ，求 m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标.解析：椭圆的方程可化为：322mmymx=1 m-3)2(3mmmmm＞0，∴m＞3mm即 a2=m，b2=3mm，c=3)2(22mmmba 由 e=23 得32mm=23 ，∴m=1.∴椭圆的标准方程为 x2+412y=1.∴a=1，b=21 ，c=23 .∴椭圆的长轴长为 2，短轴长为 1，两焦点坐标分别为 F1（-23 ，0），F2（23 ，0）四个顶点分别为 A1（-1，0），A2（1，0），B1（0，21），B2（0， 21 ）.二、求椭圆的离心率【例 2】 2006 山东潍坊一模，8 在 Rt△ABC 中，AB=AC=1，如果一个椭圆通过 A，B 两点，它的一个焦点为点 C，另一个焦点在 AB 上，则这个椭圆的离心率为（ ）A.36  B.2 -1 C.236  D.263 解析:设另一个焦点为 C′，则有AC+AC′=2a，BC+BC′=2a，1又 BC=2，BC′=1-AC′，∴aCAaCA212,21，解得 AC′=22 ，a=422 ，c=222CAAC=2211=46 ，∴离心率 e= ac =36 ，故选 A.答案：A温馨提示 本题考查椭圆的定义、离心率公式及相关运算能力.三、离心率的应用【例 3】 已知椭圆的对称轴是坐标轴,O 为坐标原点,F 是一个焦点,A 是一个顶点,若椭圆的长轴长是 6,且 cos∠OFA= 32 ,求椭圆的方程.解: 椭圆的长轴长是 6，cos∠OFA＝ 32 ,∴点 A 不是长轴的端点（是短轴的端点）.∴｜OF｜＝c，｜AF｜＝a＝３.∴ 3c ＝ 32 .∴c＝2，b2＝32-22＝５.∴椭圆的方程是5922yx ＝１或9522yx ＝１.温馨提示 △OFA 是椭圆的特征三角形，它的两直角边长分别为 b、c，斜边的长为 a，∠OFA 的余弦值是椭圆的离心率.各个击破类题演练 1求椭圆 25x2+y2=25 的长轴和短轴的长、焦点和顶点坐标.解:把已知方程化成标准方程：252y+x2=1，这里 a=5,b=1,所以 c=125 =26 .因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a=10 和 2b=2,两个焦点分别是 F1(0，-26 )、F2(0，26 )，椭圆的四个顶点是 A1(0，-25)、A2(0，5)、B1(-1，0)和 B2(1，0).变式提升 1已知点 P（3，6）在以两坐标轴为对称轴的椭圆上，你能根据 P 点的坐标最多可写出椭圆上几个点的坐标（P 点除外）？这几个点的坐标是什么？解:根据椭圆关于两坐标轴对称及 P 点的坐标，最多可以写出椭圆上三个点的坐标，这几个点的坐...