2.2.2.2 椭圆简单几何性质的应用[目标] 1.掌握直线与椭圆的位置关系及其研究方法，并能利用相关性质解决一些简单的综合问题.2.通过本节课的学习，进一步全面理解椭圆的几何性质，培养综合利用知识灵活解决问题的能力．[重点] 利用直线与椭圆的位置关系解决弦长、中心弦等问题．[难点] 灵活运用椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系解决问题．知识点 直线与椭圆的位置关系[填一填]1．点 P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：点 P 在椭圆上⇔＋＝1；点 P 在椭圆内部⇔＋<1；点 P 在椭圆外部⇔＋>1.2．直线 y＝kx＋m 与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系判断方法：联立，消 y 得一个一元二次方程.[答一答]1．直线和椭圆的位置关系能不能用中心到直线的距离来判断呢？提示：不能．因为椭圆不是圆，中心到椭圆上点的距离不完全相等．2．如何求直线与椭圆相交所得的弦长？提示：(1)将直线方程与椭圆方程联立，得一元二次方程；(2)若 A，B 两点的坐标易求出，可直接用弦长公式|AB|＝＝|x1－x2|＝|y1－y2|求出弦长；若 A，B 两点坐标不易求出时，可用韦达定理求出 x1＋x2与 x1x2的值，代入弦长公式|AB|＝求出弦长．直线与椭圆有三种位置关系，即相交、相切、相离．1．判断直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的解的个数来确定，通常用消元后所得关于 x(或 y)的一元二次方程的根的判别式 Δ 来判断．Δ>0⇔直线和椭圆相交；Δ＝0⇔直线和椭圆相切；Δ<0⇔直线和椭圆相离．2．若 AB 为椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦 AB 的长|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|(k 为 AB 所在直线的斜率)．3 ． 直 线 和 椭 圆 相 交 有 关 弦 的 中 点 问 题 ， 常 用 设 而 不 求 的 思 想 方 法 ． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 中点 M(x0，y0)，则有 x0＝，y0＝，又 kAB＝，＋＝1，①＋＝1，②①－②得 b2(x－x)＋a2(y－y)＝0.③可将 x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0以及＝kAB整体代入，从而求解与弦中点有关的问题(如直线方程、字母的值等).类型一 直线与椭圆的位置关系判定【例 1】 直线 y＝kx＋1(k∈R)与焦点在 x 轴上的椭圆＋＝1 总有公共点，求 m 的取值范围．【分析】 →→→【解】 方法 1：利用数形结合，直线系 y＝kx＋1 恒过定点(0,1)，直线与椭圆总有公共点等价于点(0,1)在椭圆内或椭圆上⇔＋≤1，即 m≥1，又 m<5，故 m∈[1,5)．方...
