高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.3 椭圆的简单几何性质（二）课堂导学案 新人教B版选修2-1-新人教B版高二选修2-1数学学案VIP专享

2.2.3 椭圆的简单几何性质（二）课堂导学三点剖析一、椭圆的第二定义【例 1】椭圆92522yx =1 上有一点 P，它到左准线的距离等于 2.5，求 P 到右焦点的距离.解法一:如右图，设 P 到左、右准线的距离分别为 d1，d2，则 d1+d2=45022ca=12.5.又 d1=2.5，∴d2=10.又54||22edPF，∴|PF2|= 54 ·d2= 54 ×10=8.解法二：由54||11acdPF及 d1=2.5，得|PF1|= 54 ·d1=2.又|PF1|+|PF2|=2a=10，∴|PF2|=10-|PF1|=8.温馨提示 根据椭圆的第二定义，往往把椭圆上的点到焦点的距离转化到该点到相应准线的距离.二、焦半径【例 2】 对于椭圆2222byax=1.（a＞b＞0）它的左、右焦点分别是 F1（-c，0）和F2（c，0），P（x0，y0）是椭圆上的任一点，求证：|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0，其中 e 是椭圆的离心率.证明:椭圆2222byax=1（a＞b＞0）的两焦点：F1（-c，0）、F2（c，0），相应的准线方程分别是：x=ca 2和 x=ca2 . 椭圆上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于这个椭圆的离心率.1∴caxPF201 ||=e，022 ||xcaPF=e.化简得：|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0.温馨提示 |PF1|、|PF2|都是椭圆上的点到焦点的距离，习惯称作焦点半径.|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0称作焦半径公式，结合这两个公式，显然到焦点距离最远（近）点为长轴端点.三、利用椭圆第二定义求最值【例 3】 已知定点 A（-2， 3 ），点 F 为椭圆121622yx =1 的右焦点，点 M 的椭圆上移动时，求|AM|+2|MF|的最小值，并求此时点 M 的坐标.解:如右图，由椭圆方程，得 a=4，b=2 3 ，c=2，∴e= 21 ，右焦点 F（2，0），右准线 l：x=8.设点 M 到右准线 l 的距离为 d，则dMF ||=e= 21 ，即|2MF|=d.∴|AM|+2|MF|=|AM|+d.由于 A 在椭圆内，过 A 作 AK⊥l，K 为垂足，易证|AK|即为|AM|+d 的最小值，其值为 8-（-2）=10.此时 M 点纵坐标为 3 ，得横坐标为 2 3 .∴|AM|+2|MF|的最小值为 10，这时点 M 的坐标为（2 3 ， 3 ）.温馨提示 （1）转化是一种重要的数学思想，本题利用第二定义，将看似没有“出路”的问题巧妙地化解了. （2）本题实际上要求对椭圆的第二定义有深刻的理解，在后面的双曲线、抛物线中也有类似问题，注意总结规律.各个击破类题演练 1在椭圆92522yx =1 上求一点 P,使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍.解析：设 P 点的坐标为（x，y），F1、F2分别为椭圆的左、右焦点. ...