2.3 数学归纳法(一)[学习目标]1．了解数学归纳法的原理．2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．[知识链接]1．对于数列{an}，已知 a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，求出数列前 4 项，你能得到什么猜想？你的猜想一定是正确的吗？答 a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝.猜想数列的通项公式为 an＝.不能保证猜想一定正确，需要严密的证明．2．多米诺骨牌都一一倒下只需满足哪几个条件？答 (1)第一块骨牌倒下；(2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．条件(2)事实上给出了一个递推关系，换言之就是假设第 K 块倒下，则相邻的第 K＋1 块也倒下．3．类比问题 2 中的多米诺骨牌游戏的原理，想一想如何证明问题 1 中的猜想？答 (1)当 n＝1 时，猜想成立；(2)若当 n＝k 时猜想成立，证明当 n＝k＋1 时猜想也成立．[预习导引]1．数学归纳法证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行：①(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0(n0∈N*)时命题成立；②(归纳递推)假设当 n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当 n＝k＋1 时命题也成立．2．应用数学归纳法时注意几点：(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数 n 有关的命题．(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．(3)步骤②的证明必须以“假设当 n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立”为条件．要点一 正确判断命题从 n＝k 到 n＝k＋1 项的变化例 1 已知 f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，证明不等式 f(2n)>时，f(2k＋1)比 f(2k)多的项数是________．答案 2k解析 观察 f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f(2k)＝1＋＋＋…＋，而 f(2k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋.因此 f(2k＋1)比 f(2k)多了 2k项．规律方法 在书写 f(k＋1)时，一定要把包含 f(k)的式子写出来，尤其是 f(k＋1)中的最后一项．除此之外，多了哪些项，少了哪些项都要分析清楚．跟踪演练 1 设 f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，那么 f(n＋1)－f(n)等于________．答案 ＋＋解析 f(n)＝1＋＋＋…＋，∴f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋，1∴f(n＋1)－f(n)＝＋＋.要点二 证明与自然数 n 有关的等式例 2 已知 n∈N*，证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.证明 (1)当 n＝1 时，左边＝1－＝，右边＝，等式成立；(2)假设当 n＝k(k≥1，且 k∈N*)时等式成立，即：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.则当 n＝k＋1 时，左边＝1－＋－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋－＝＋＋…＋＋＋＝＋＋…＋＋＝右边...
