2.3 数学归纳法(二)[学习目标]1．进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学归纳法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数学命题．2．掌握证明 n＝k＋1 成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等．[知识链接]1．数学归纳法的两个步骤有何关系？答案 使用数学归纳法时，两个步骤缺一不可，步骤(1)是递推的基础，步骤(2)是递推的依据．2．用数学归纳法证明的问题通常具备怎样的特点？答案 与正整数 n 有关的命题 [预习导引]1．归纳法归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分完全归纳法和不完全归纳法两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明．2．数学归纳法(1)应用范围：作为一种证明方法，用于证明一些与正整数有关的数学命题；(2)基本要求：它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可；(3)注意点：在第二步递推归纳时，从 n＝k 到 n＝k＋1 必须用上归纳假设．要点一 用数学归纳法证明不等式问题例 1 用数学归纳法证明：＋＋＋…＋<1－(n≥2，n∈N*)．证明 (1)当 n＝2 时，左式＝＝，右式＝1－＝.因为<，所以不等式成立．(2)假设 n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立，即＋＋＋…＋<1－，则当 n＝k＋1 时，＋＋＋…＋＋<1－＋＝1－＝1－<1－＝1－，所以当 n＝k＋1 时，不等式也成立．综上所述，对任意 n≥2 的正整数，不等式都成立．规律方法 用数学归纳法证明不等式时常要用到放缩法，即在归纳假设的基础上，通过放大或缩小等技巧变换出要证明的目标不等式．跟踪演练 1 用数学归纳法证明：对一切大于 1 的自然数 n，不等式…>成立．证明 (1)当 n＝2 时，左＝1＋＝，右＝，左>右，∴不等式成立．1(2)假设 n＝k(k≥2 且 k∈N*)时，不等式成立，即…>，那么当 n＝k＋1 时，…>·＝＝>＝＝，∴n＝k＋1 时，不等式也成立．由(1)(2)知，对一切大于 1 的自然数 n，不等式都成立．要点二 用数学归纳法证明整除性问题例 2 用数学归纳法证明：f(n)＝(2n＋7)·3n＋9 能被 36 整除．证明 ①当 n＝1 时，f(1)＝(2×1＋7)×3＋9＝36，能被 36 整除．② 假设 n＝k(k∈N*)时，f(k)能被 36 整除，即(2k＋7)·3k＋9 能被 36 整除，则当 n＝k＋1 时，f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)，由归纳假设 3[(2k＋7)·3k＋9]能被 36 整除，而 3k－1－1 是偶数，所以 18(3k－1－1)能被 36 整除，所以...
