2．3.1 数学归纳法明目标、知重点 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．1．数学归纳法一个与自然数相关的命题，如果(1)当 n 取第一个值 n0 时命题成立；(2)在假设当 n＝k(k∈N＋，且 k≥n0)时命题成立的前提下，推出当 n＝k＋1 时命题也成立，那么可以断定，这个命题对 n 取第一个值后面的所有正整数成立．2．应用数学归纳法时特别注意(1)用数学归纳法证明的对象是与自然数相关的命题．(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可． [情境导学]多米诺骨牌游戏是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌，玩时将骨牌按一定间距排列成行，保证任意两相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下．只要推倒第一块骨牌，就必然导致第二块骨牌倒下； 而第二块骨牌倒下，就必然导致第三块骨牌倒下…，最后不论有多少块骨牌都能全部倒下．请同学们思考所有的骨牌都一一倒下蕴涵怎样的原理？探究点一 数学归纳法的原理思考 1 多米诺骨牌游戏给你什么启示？你认为一个骨牌链能够被成功推倒，靠的是什么？答 (1)第一张牌被推倒；(2)任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．结论：多米诺骨牌会全部倒下．所有的骨牌都倒下，条件(2)给出了一个递推关系，条件(1)给出了骨牌倒下的基础．思考 2 用数学归纳法证明问题的一般步骤分几步？答 一般地，证明一个与自然数 n 有关的命题 P(n)，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0(n0∈N＋)时命题成立；(2)(递推是关键)假设当 n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命题成立，证明当 n＝k＋1 时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0开始的所有正整数 n 都成立．其中，利用假设是证题的核心．思考 3 用数学归纳法证明 1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，如采用下面的证法，对吗？若不对请改正．证明：(1)n＝1 时，左边＝1，右边＝12＝1，等式成立．(2)假设 n＝k 时等式成立，即 1＋3＋5＋…＋(2k－1)＝k2，则当 n＝k＋1 时，1＋3＋5＋…＋(2k＋1)＝＝(k＋1)2等式也成立．由(1)和(2)可知对任何 n∈N＋等式都成立．答 证明方法不是数学归纳法，因为第二步证明时，未用到归纳假设．从形式上看这种证法，用的是数学归纳法，实质上不是，因为证明 n＝k＋1 正确时，未用到归纳假设，而用的是等差数列求和公式．探究点二 用数学归纳法证明等式例 1 用数学归纳法证明12＋22＋…＋n2＝(n∈N＋)．证明...
