高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 双曲线 2.3.1 双曲线及其标准方程导学案 北师大版选修1-1-北师大版高二选修1-1数学学案

2.3.1 双曲线及其标准方程学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.知识点一 双曲线的定义思考 1 如图，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点 M 处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？答案 曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数；如果改变一下笔尖位置，使|MF2|－|MF1|＝常数，可得到另一条曲线.思考 2 已知点 P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点 P 的轨迹是什么图形？(1)|－|＝6；(2)－＝6.答案 (1) |－|表示点 P(x，y)到两定点 F1(－5，0)、F2(5，0)的距离之差的绝对值，|F1F2|＝10，∴||PF1|－|PF2||＝6<|F1F2|，故点 P 的轨迹是双曲线.(2) －表示点 P(x，y)到两定点 F1(－4，0)、F2(4，0)的距离之差，|F1F2|＝8，∴|PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|，故点 P 的轨迹是双曲线的右支.梳理 把平面内到两定点 F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线.定点 F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距 . 知识点二 双曲线的标准方程思考 1 双曲线的标准形式有两种，如何区别焦点所在的坐标轴？答案 双曲线标准方程中 x2与 y2的系数的符号决定了焦点所在的坐标轴.当 x2的系数为正时焦点在 x 轴上；当 y2的系数为正时，焦点在 y 轴上，而与分母的大小无关.思考 2 如图，类比椭圆中 a，b，c 的意义，你能在 y 轴上找一点 B，使|OB|＝b 吗？答案 以双曲线与 x 轴的交点 A 为圆心，以线段 OF2为半径画圆交 y 轴于点 B.1类型一 双曲线的定义及应用命题角度 1 双曲线中的焦点三角形问题例 1 (1)如图，已知双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，点 A，B 均在双曲线的右支上，线段 AB经过双曲线的右焦点 F2，|AB|＝m，F1为双曲线的左焦点，则△ABF1的周长为________.(2)已知双曲线－＝1 的左、右焦点分别是 F1、F2，若双曲线上一点 P 使得∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________.答案 (1)4a＋2m (2)16解析 (1)由双曲线的定义，知|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a.又|AF2|＋|BF2|＝|AB|，所以△ABF1的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＋2|AB|＝4a＋2m.(2)由－＝1，得 a＝3，b＝4，c＝5.由定义和余弦定理，得|...