第二章 本章小结一、合情推理与演绎推理归纳和类比是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想 ，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体，个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理，从推理所得结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．从二者在认识事物的过程中所发挥作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的．合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得．合情推理可以为演绎推理提供方向和思路．【例 1】 观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(－x)＝f(x)，记 g(x)为 f(x)的导函数，则 g(－x)＝( )A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)【解析】 通过观察所给的结论可知，若 f(x)是偶函数，则导函数 g(x)是奇函数，故选 D.【答案】 D【例 2】 已知结论：“在三边长都相等的△ABC 中，若 D 是 BC 的中点，G 是△ABC 外接圆的圆心，则＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD 中，若 M 是△BCD 的三边中线的交点，O 为四面体 ABCD 外接球的球心，则＝________.”【分析】 【解析】 如图，易知球心 O 在线段 AM 上，不妨设四面体 ABCD 的棱长为 1，外接球的半径为 R，则 BM＝×＝，AM＝＝，R＝，解得 R＝.于是，＝＝3.【答案】 3【规律总结】 解决此类问题，从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何中，相关类比点如下：平面图形立体图形点点、线直线直线、平面平面几何体边长边长、面积面积体积三角形四面体线线角面面角平行四边形平行六面体圆球二、直接证明与间接证明证明可分为直接证明与间接证明．直接证明包括综合法、分析法，间接证明为反证法 ，出现“至多”、“至少”等问题时常用反证法．【例 3】 已知二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>b>c)的图象与 x 轴有两个不同的交点A、B，且 f(1)＝0.(1)求的范围；(2)求证：<|AB|<3.(1)【解】 f(1)＝0，∴a＋b＋c＝0，b＝－a－c.若 a<0，由 a>b>c 知 b<0，c<0.∴a＋b＋c<0 与 a＋b＋c＝0 矛盾．又 a≠0，∴a>0，同理可证 c<0.由 a>－a－c>c，得∴－2<<－.(2)【证明】 ax2＋...
