第二章 推理与证明章末复习提升课 利用递推关系猜想数列通项公式[问题展示] （教材 P83 习题 2.1 A 组 T1）在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝（n∈N*），试猜想这个数列的通项公式.【解】 因为 a1＝1，an＋1＝，所以 a2＝＝，a3＝＝＝，a4＝＝，所以猜想数列{an}的通项公式为 an＝.已知数列{an}的通项公式为 an＝.是否存在常数 a，b，使得 an＋1＝对于一切 n∈N*均成立，若存在，求出常数 a，b 的值，若不存在，说明理由.【解】 假设存在满足条件的常数 a，b.由 an＝与 an＋1＝得＝，即（a－1）n＋（2a－2b－1）＝0 对于 n∈N*恒成立，所以所以 a＝1，b＝.即存在常数 a＝1，b＝，当 an＝时，an＋1＝对于一切 n∈N*均成立.【拓展 1】 直接推出原问题中数列{an}的通项公式.【解】 由 a1＝1，an＋1＝得＝＋，即－＝.即数列是以首项为＝1，公差为的等差数列，所以＝1＋（n－1）×＝.所以 an＝.【拓展 2】 在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝.（1）猜想数列{an}的通项公式；（2）求数列{an}的通项公式.【解】 （1）由 a1＝1，an＋1＝得a2＝＝＝，a3＝＝＝，a4＝＝＝，由此猜想 an＝.（2）由 a1＝1，an＋1＝得＝＋1，所以－2＝，所以数列是首项为－2＝－1，公比为的等比数列.所以－2＝－1×，所以＝2－＝，所以 an＝.即所求数列的通项公式为 an＝. 分析法与综合法的应用[问题展示] （教材 P89 练习 T2）求证＋＞2＋.【证明】 要证＋＞2＋，只需证（＋）2＞（2＋）2，展开得 13＋2＞13＋2，只需证＞，只需证 42＞40.因为 42＞40 显然成立，所以＋＞2＋成立.若 2＋＜5 恒成立，比较 m 与 5 的大小.【解】 由 2＋＜5 得＜5－2.即 m＜（5－2）2＝33－20，所以 m－5＜28－20＝4（7－5）.因为 72－（5）2＝49－50＝－1＜0，所以 7＜5，即 7－5＜0，即 m－5＜4（7－5）＜0，所以 m＜5.设 a≥0，求证：＋＞＋.【证明】 因为 a≥0，所以要证＋＞＋成立，只需证明（＋）2＞（＋）2成立.展开得 2a＋3＋2＞2a＋3＋2.即证 ＞ 成立，只需证（）2＞（）2成立.只需证 a2＋3a＋2＞a2＋3a 成立.即证 2＞0 成立，2＞0 显然成立.所以＋＞＋成立. 演绎推理的应用[问题展示] （教材 P85 例 1）在△ABC 中，三个内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，且 A，B，C 成等差数列，a，b，c 成等比数列，求证△ABC 为等边三角形.【证明】 由 A，B，C 成等差数列，有 2B＝A＋C.①因为 A，B，C 为...
