第二章 推理与证明章末复习提升课 利用递推关系猜想数列通项公式[问题展示] （教材 P83 习题 2
1 A 组 T1）在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝（n∈N*），试猜想这个数列的通项公式
【解】 因为 a1＝1，an＋1＝，所以 a2＝＝，a3＝＝＝，a4＝＝，所以猜想数列{an}的通项公式为 an＝
已知数列{an}的通项公式为 an＝
是否存在常数 a，b，使得 an＋1＝对于一切 n∈N*均成立，若存在，求出常数 a，b 的值，若不存在，说明理由
【解】 假设存在满足条件的常数 a，b
由 an＝与 an＋1＝得＝，即（a－1）n＋（2a－2b－1）＝0 对于 n∈N*恒成立，所以所以 a＝1，b＝
即存在常数 a＝1，b＝，当 an＝时，an＋1＝对于一切 n∈N*均成立
【拓展 1】 直接推出原问题中数列{an}的通项公式
【解】 由 a1＝1，an＋1＝得＝＋，即－＝
即数列是以首项为＝1，公差为的等差数列，所以＝1＋（n－1）×＝
所以 an＝
【拓展 2】 在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝
（1）猜想数列{an}的通项公式；（2）求数列{an}的通项公式
【解】 （1）由 a1＝1，an＋1＝得a2＝＝＝，a3＝＝＝，a4＝＝＝，由此猜想 an＝
（2）由 a1＝1，an＋1＝得＝＋1，所以－2＝，所以数列是首项为－2＝－1，公比为的等比数列
所以－2＝－1×，所以＝2－＝，所以 an＝
即所求数列的通项公式为 an＝
分析法与综合法的应用[问题展示] （教材 P89 练习 T2）求证＋＞2＋
【证明】 要证＋＞2＋，只需证（＋）2＞（2＋）2，展开得 13＋2＞13＋2，只需证＞，只需证 42＞40
因为 42＞40 显然成立，所以＋＞2＋成立
若 2＋＜5 恒成立，比较 m 与 5 的大小
【解】 由 2＋＜5 得＜5－2
即 m＜（5
