高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 双曲线 2.3.2 双曲线的简单性质导学案 北师大版选修1-1-北师大版高二选修1-1数学学案VIP专享

2.3.2 双曲线的简单性质学习目标 1.了解双曲线的简单性质(对称性、范围、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.掌握标准方程中 a，b，c，e 间的关系.4.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题.知识点一 双曲线的简单性质思考 类比椭圆的简单性质，结合图像，你能得到双曲线－＝1(a>0，b>0)的哪些性质？答案 范围、对称性、顶点、离心率、渐近线.梳理标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x ≥ a 或 x ≤ － a y ≥ a 或 y ≤ － a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标A1( － a ， 0) ， A 2( a ， 0) A1(0 ，－ a ) ， A 2(0 ， a ) 渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)知识点二 双曲线的离心率思考 1 如何求双曲线的渐近线方程？答案 将方程－＝1(a>0，b>0)右边的“1”换成“0”，即由－＝0 得±＝0，如图，作直线±＝0，在双曲线－＝1 的各支向外延伸时，与两直线逐渐接近，把这两条直线叫作双曲线的渐近线.思考 2 椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图像的一个重要特征，怎样描述双曲线的“张口”大小呢？答案 双曲线－＝1 的各支向外延伸逐渐接近渐近线，所以双曲线的“张口”大小取决于的值，设 e＝，则＝＝.当 e 的值逐渐增大时，的值增大，双曲线的“张口”逐渐增大.1梳理 双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率，其取值范围是(1 ，＋∞ ). e 越大，双曲线的张口越大 . 知识点三 双曲线的相关概念1.双曲线的对称中心叫作双曲线的中心.2.实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，它的渐近线是 y＝±x.类型一 由双曲线方程研究其性质例 1 求双曲线 9y2－4x2＝－36 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.解 将 9y2－4x2＝－36 变形为－＝1，即－＝1，所以 a＝3，b＝2，c＝，因此顶点坐标为(－3，0)，(3，0)；焦点坐标为(－，0)，(，0)；实轴长是 2a＝6，虚轴长是 2b＝4；离心率 e＝＝；渐近线方程为 y＝±x＝±x.反思与感悟 由双曲线的方程研究其性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类问题的关键.(2)由标准方程确定焦点位置，确定 a，b 的值.(3)由 c2＝a2＋b2求出 c 值，从而写出双曲线的简单性质.跟踪训练 1 求双曲线 9y2－16x2＝144 的实半轴长和虚半轴...