2.3.1 双曲线及其标准方程课堂探究探究一 双曲线的定义及应用若 F1，F2分别表示双曲线的左、右焦点，点 P 满足|PF1|－|PF2|＝2a，则点 P 在双曲线的右支上；若点 P 满足|PF2|－|PF1|＝2a，则点 P 在双曲线的左支上，反之亦成立．如果遇到动点到两定点的距离之差的问题，应联想到利用双曲线的定义来解，但要注意 x 的范围．【典型例题 1】 已知双曲线－＝1 的左、右焦点分别是 F1，F2，若双曲线上一点 P 使得∠F1PF2＝90°，求△F1PF2的面积．思路分析：利用双曲线的定义，结合勾股定理来求解．解：由－＝1，知 a＝3，b＝4，所以 c＝5.由双曲线定义及勾股定理，得|PF1|－|PF2|＝±6，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝102＝100，所以(|PF1|－|PF2|)2＝100－2|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝32.所以12F PFS＝|PF1|·|PF2|＝16.探究二 求双曲线的标准方程解决求双曲线的标准方程问题，主要关注三个问题：(1)注意焦点的位置，以确定双曲线标准方程的类型；(2)求方程的关键是确定 a2，b2的值；(3)充分利用 a2＋b2＝c2.【典型例题 2】 根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)以椭圆＋＝1 的焦点为顶点，顶点为焦点；(2)焦距为 2，经过点(－5,2)，且焦点在 x 轴上；(3)与双曲线－＝1 有相同的焦点，且经过点(3，2)；(4)过点 P，Q且焦点在坐标轴上．思路分析：先根据条件确定焦点的位置再设出方程，确定参数的值．解：(1)依题意，双曲线的焦点在 x 轴上，且 a＝，c＝2，所以 b2＝c2－a2＝5.所以双曲线的标准方程为－＝1.(2)因为焦点在 x 轴上，且 c＝，所以设方程为－＝1.又因为过点(－5,2)，所以－＝1.解得 a2＝5 或 a2＝30(舍去)．所以方程为－y2＝1.(3)设所求双曲线方程为－＝1(－4＜λ＜16)．因为双曲线过点(3，2)，所以－＝1，解得 λ＝4 或 λ＝－14(舍去)．所以所求双曲线方程为－＝1.(4)设双曲线方程为＋＝1(mn＜0)．因为 P，Q 两点在双曲线上，所以1解得所以所求双曲线方程为－＝1.点评：在(3)中，运用了与双曲线－＝1 有公共焦点的双曲线系方程－＝1 后，便可迅速求解．(4)中，焦点位置无法判断，可把双曲线方程设为＋＝1(AB＜0)或设为 mx2＋ny2＝1(mn＜0)，可避免分类讨论．探究三 易错辨析易错点 忽略双曲线方程中含有的字母的符号【典型例题 3】 已知双曲线 8kx2－ky2＝8 的一个焦点为(0,3)，求 k 的值．错解：将双曲线方程化为标准方程为－＝1.由题意知焦点在 y 轴上，所以 a2＝...
