2.3.1 双曲线及其标准方程课堂导学三点剖析一、双曲线的定义【例 1】 已知双曲线的两个焦点 F1、F2之间的距离为 26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为 24，求双曲线的方程.解：若以线段 F1F2所在的直线为 x 轴，线段 F1F2的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系,则双曲线的方程为标准形式.由题意得 2a=24,2c=26.∴a=12,c=13，b2=132-122=25.当双曲线的焦点在 x 轴上时，双曲线的方程为2514422yx=1.若以线段 F1F2所在直线为 y 轴，线段 F1F2的垂直平分线为 x 轴，建立直角坐标系，则双曲线的方程为2514422xy=1.温馨提示 求轨迹方程时，如果没有直角坐标系，应先建立适当的直角坐标系.求双曲线的标准方程就是求 a2、b2的值，同时还要确定焦点所在的坐标轴.双曲线所在的坐标轴，不像椭圆那样看 x2、y2的分母的大小，而是看 x2、y2的系数的正、负.二、求双曲线的标准方程【例 2】 求满足下列条件的双曲线的标准方程.（1）经过点 A（1，3104），且 a=4;(2)经过点 A（2，332）、B（3，-22 ）.解析:（1）若所求双曲线方程为2222byax=1（a＞0，b＞0），则将 a=4 代入，得22216byx =1，又点 A（1，3104）在双曲线上，∴29160161b=1，解得 b2＜0，不合题意，舍去.1若所求双曲线方程为2222bxay=1（a＞0，b＞0），同上，解得 b2=9，∴双曲线的方程为91622xy =1.（2）设双曲线方程为 mx2+ny2=1（mn＜0）， 点 A（2，332）、B（3，22）在双曲线上，∴.189,1344nmm.解之，得.41,31nm.∴所求双曲线的方程为14322 yx.三、确定方程表示的曲线类型【例 3】 已知方程 kx2+y2=4，其中 k 为实数，对于不同范围的 k 值分别指出方程所表示的曲线类型.解：（1）当 k=0 时，y=±2，表示两条与 x 轴平行的直线.（2）当 k=1 时，方程为 x2+y2=4，表示圆心在原点，半径为 2 的圆.（3）当 k＜0 时，方程为kxxy44222=1，表示焦点在 y 轴上的双曲线.（4）当 0＜k＜1 时，方程为4422ykx =1，表示焦点在 x 轴上的椭圆.（5）当 k＞1 时，方程为4422ykx =1，表示焦点在 y 轴上的椭圆.温馨提示 本题是判定方程所表示的曲线类型题目.对参数 k 讨论时，首先要找好讨论的分界点，除了区别曲线类型外，同一类曲线还要区别焦点在 x 轴和 y 轴的情况.各个击破类题演练 12(2006 辽宁高考，9) 已知点 F1(-2,0)、F2(2,0)，动点 P...
