第二章 推理与证明 归纳推理的四个特点(1)前提：几个已知的特征现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包括的范围．(2)结论：具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具．(3)步骤：先搜集一定的事实资料，有了个别性的、特殊性的事实作为前提，然后才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察和试验的基础上进行．(4)作用：具有创造性的推理，通过归纳推理能够发现新事实，获得新结论，是科学发现的重要手段．[典例 1] (1)观察下列不等式1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，……照此规律，第五个不等式为________．(2)如图所示是一个有 n 层(n≥2，n∈N*)的六边形点阵，它的中心是一个点，算作第 1层，第 2 层每边有 2 个点，第 3 层每边有 3 个点，…，第 n 层每边有 n 个点，则这个点阵共有________个点．解析：(1)第 n(n＝1,2,3)个不等式的左边为前 n＋1 个正整数平方的倒数和，右边分母为 n＋1，分子为 2n＋1，故第五个不等式为 1＋＋＋＋＋<.(2) 设 第 n 层 共 有 an 个 点 ， 结 合 图 形 可 知 a1 ＝ 1 ， a2 ＝ 6 ， … ， an ＋ 1 ＝ an ＋6(n≥2，n∈N*)，则 an＝6＋(n－2)×6＝6n－6(n≥2，n∈N*)，前 n 层所有点数之和为 Sn＝1＋＝3n2－3n＋1，故这个点阵共有 3n2－3n＋1 个点．答案：(1)1＋＋＋＋＋<(2)3n2－3n＋1[对点训练]1．观察下列图形中小正方形的个数，则第 n 个图形中有________个小正方形．解析：设第 n 个图形中小正方形的个数为 Sn，观察图形，当 n＝1 时，S1＝2＋1；当 n＝2 时，S2＝3＋2＋1；当 n＝3 时，S3＝4＋3＋2＋1；当 n＝4 时，S4＝5＋4＋3＋2＋1；当 n＝5 时，S5＝6＋5＋4＋3＋2＋1；…，可得 Sn＝(n＋1)＋n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1＝＝.答案： 类比推理的特点是：对两类具有某些类似性质的对象，若其中一类对象具有某些已知性质，推出另一类对象也具有这些性质．(1)类比是以已知知识作基础，推测新的结果，具有发现的功能．(2)常见的类比推理情形有：平面与空间类比；向量与数类比；不等与相等类比等．[典例 2] 在△ABC 中，若 AB⊥AC，AD⊥BC 于 D.则＝＋，类比以上结论写出四面体ABCD 中，类似的命题，并给出证明．解：猜想：在四面体 ABCD 中，若 AB、AC、AD 两两垂直，且 AE⊥平面 BCD，E 为垂足，则＝＋＋.证明：如图所示，连接 BE 交...
