高中数学 第二章 推理与证明 2.2.1 综合法与分析法学案 新人教B版选修2-2-新人教B版高二选修2-2数学学案

2．2.1 综合法与分析法明目标、知重点 1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．1．综合法从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论．2．分析法从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实． [情境导学]证明对我们来说并不陌生，我们在之前学习的合情推理，所得的结论的正确性就是要证明的，并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的不系统的，这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识．探究点一 综合法思考 1 请同学们证明下面的问题，总结证明方法有什么特点？已知 a，b>0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.证明 因为 b2＋c2≥2bc，a>0，所以 a(b2＋c2)≥2abc.又因为 c2＋a2≥2ac，b>0，所以 b(c2＋a2)≥2abc.因此 a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.总结：此证明过程运用了综合法．一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立．思考 2 综合法又叫由因导果法，其推理过程是合情推理还是演绎推理？答 因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理，因此所得到的每一个结论都是正确的不同于合情推理中的“猜想”，所以综合法是演绎推理．例 1 在△ABC 中，三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 A，B，C 成等差数列，a，b，c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形．证明 由 A，B，C 成等差数列，有 2B＝A＋C，①由于 A，B，C 为△ABC 的三个内角，所以 A＋B＋C＝π.②由①②，得 B＝，③由 a，b，c 成等比数列，有 b2＝ac，④由余弦定理及③，可得 b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac，再由④，得 a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，从而 a＝c，所以 A＝C.⑤由②③⑤，得 A＝B＝C＝，所以△ABC 为等边三角形．反思与感悟 综合法的证明步骤如下：(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等；(2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程．跟踪训练 1 在△ABC 中，＝，证明：B＝C.证明 在△ABC 中，由正弦定理及已知得＝.于是 sin Bcos C－cos Bsin C＝0，即 sin(B－C)＝0，因为－π