高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法学案 新人教B版选修1-2-新人教B版高二选修1-2数学学案

2.2.2 反证法明目标、知重点 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.1.反证法的定义一般地，由证明 p⇒q 转向证明：綈 q⇒r⇒…⇒t，t 与假设矛盾，或与某个真命题矛盾.从而判定綈 q 为假，推出 q 为真的方法，叫做反证法.2.反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是与假设矛盾或与数学公理、定理 、 公式、定义或已被证明了的结论矛盾，或与公认的简单事实矛盾等.3.反证法中常用的“结论词”与“反设词”如下结论词至少有一个至多有一个至少有 n 个至多有 n 个反设词一个也没有(不存在)至少有两个至多有( n － 1) 个至少有(n＋1)个结论词只有一个对所有 x 成立对任意 x 不成立反设词没有或至少有两个存在某个 x 不成立存在某个 x 成立结论词都是一定是p 或 qp 且 q反设词不都是不一定是綈 p 且綈 q綈 p 或綈 q[情境导学]王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍.一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的.”这就是著名的“道旁苦李”的故事.王戎的论述，运用的方法即是本节课所要学的方法——反证法.探究点一 反证法的概念思考 1 结合情境导学描述反证法的一般模式是什么？答 (1)假设原命题不成立(提出原命题的否定，即“李子苦”)，(2)以此为条件，经过正确的推理，最后得出一个结论(“早被路人摘光了”)，(3)判定该结论与事实(“树上结满李子”)矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法称为反证法.思考 2 反证法证明的关键是经过推理论证，得出矛盾.反证法引出的矛盾有几种情况？答 (1)与假设矛盾；(2)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；(3)与公认的简单事实矛盾.思考 3 反证法主要适用于什么情形？答 ①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；② 如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形.探究点二 用反证法证明定理、性质等一些事实结论例 1 已知直线 a，b 和平面 α，如果 a⊄α，b⊂α，且 a∥b，求证：a∥α.证明 因为 a∥b，所以经过直线 a...