8.1 正弦定理(二)[学习目标] 1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.2.能根据条件，判断三角形解的个数.3.能利用正弦定理、三角变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题.[知识链接]以下关于正弦定理的叙述或变形错误的是.(1)在△ABC 中，若＝＝，则 A＝90°(2)在△ABC 中，若 sin2A＝sin2B，则 a＝b(3)在△ABC 中，若 sinA>sinB，则 A>B；反之，若 A>B，则 sinA>sinB(4)在△ABC 中，＝答案 (2)解析 对于(1)，由正弦定理可知，sinB＝cosB，sinC＝cosC，∴B＝C＝45°，故 A＝90°，故(1)正确.对于(2)，由 sin2A＝sin2B 可得 A＝B 或 2A＋2B＝π，∴a＝b 或 a2＋b2＝c2，故(2)错误.对于(3)，在△ABC 中，sinA>sinB⇔a>b⇔A>B，故(3)正确.对于(4)，因为＝＝，所以＝，故(4)正确.[预习导引]1.正弦定理的常见变形(1)sinA∶sinB∶sinC＝a ∶ b ∶ c ；(2)＝＝＝＝2 R ；(3)a＝2 R sin A ，b＝2 R sin B ，c＝2 R sin C ；(4)sinA＝，sinB＝，sinC＝.2.三角变换公式(1)sin (α＋β)＝sin α cos β ＋ cos α sin β ；(2)sin (α－β)＝sin α cos β － cos α sin β ；(3)sin2α＝2sin α cos α .要点一 利用正弦定理判断三角形的形状例 1 在△ABC 中，若 sinA＝2sinBcosC，且 sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC 的形状.解 方法一 在△ABC 中，根据正弦定理：＝＝＝2R(R 为△ABC 外接圆的半径). sin2A＝sin2B＋sin2C，∴2＝2＋2，即 a2＝b2＋c2.∴A＝90°，∴B＋C＝90°.由 sinA＝2sinBcosC，得 sin90°＝2sinBcos(90°－B)，∴sin2B＝. B 是锐角，∴sinB＝，∴B＝45°，C＝45°.∴△ABC 是等腰直角三角形.方法二 在△ABC 中，根据正弦定理：sinA＝，sinB＝，sinC＝. sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴△ABC 是直角三角形且 A＝90°. A＝180°－(B＋C)，sinA＝2sinBcosC，∴sin(B＋C)＝2sinBcosC.∴sinBcosC－cosBsinC＝0，即 sin(B－C)＝0.∴B－C＝0，即 B＝C.∴△ABC 是等腰直角三角形.规律方法 依据条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有以下两种途径：(1)利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用 A＋B...
