高中数学 第八章 解三角形 8.3 解三角形的应用举例（二）学案 湘教版必修4-湘教版高一必修4数学学案

8.3 解三角形的应用举例(二)[学习目标] 1.利用正弦、余弦定理解决生产实践中的有关距离的测量问题.2.利用正弦、余弦定理解决生产实践中的有关高度的测量问题.3.培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并激发学生的探索精神.[知识链接]“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？通过本节的学习，我们将揭开这个奥秘.[预习导引]1.仰角与俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图.2.高度问题测量底部不可到达的建筑物的高度问题.由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离然后转化为解直角三角形的问题.要点一 测量底部不能到达的建筑物的高度例 1 如图所示，在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角为 α，在塔底 C 处测得 A 处的俯角为 β.已知铁塔 BC 部分的高为 h，求出山高 CD.解 在△ABC 中，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠CAD＝β.根据正弦定理得＝，即＝，∴AC＝＝.在 Rt△ACD 中，CD＝ACsin∠CAD＝ACsinβ＝.即山的高度为.规律方法 利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画示意图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化.跟踪演练 1 某登山队在山脚 A 处测得山顶 B 的仰角为 35°，沿倾斜角为 20°的斜坡前进1000 米后到达 D 处，又测得山顶的仰角为 65°，则山的高度为 ________m(精确到1m.≈1.4142，sin35°≈0.5736).答案 811解析 过点 D 作 DE∥AC 交 BC 于 E，因为∠DAC＝20°，所以∠ADE＝160°，于是∠ADB＝360°－160°－65°＝135°.又∠BAD＝35°－20°＝15°，所以∠ABD＝30°.在△ABD 中，由正弦定理，AB＝＝1000(m).在 Rt△ABC 中，BC＝ABsin35°≈811(m).例 2 如图所示，A、B 是水平面上的两个点，相距 800m，在 A 点测得山顶 C 的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在 B 点测得∠ABD＝45°，其中 D 点是点 C 到水平面的垂足，求山高 CD.解 由于 CD⊥平面 ABD，∠CAD＝45°，所以 CD＝AD.因此只需在△ABD 中求出 AD 即可，在△ABD 中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，由＝，得 AD...