高中数学 第八章 解三角形 8.3 解三角形的应用举例（一）学案 湘教版必修4-湘教版高一必修4数学学案

8.3 解三角形的应用举例(一)[学习目标] 1.能够运用正弦、余弦定理解决与方位角有关的航海问题.2.会利用数学建模的思想，结合解三角形的知识，解决与方位角有关的距离问题.[知识链接]在下列各小题的空白处填上正确答案：(1)如图所示，坡角是指坡面与水平面的夹角.(如图所示)(2)如上图，坡比是指坡面的铅直高度与水平宽度之比，即 i＝tan α ＝(i 为坡比，α 为坡角).(3)东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线 . [预习导引]1.方位角从指正北方向线按顺时针方向旋转到目标方向线所成的水平角，叫做方位角 . 2.方向角指北或指南的方向线与目标线所成的小于 90° 的水平角，叫做方向角，它是方位角的另一种表示形式.要点一 正弦、余弦定理在航海中的应用例 1 如图，在海岸 A 处发现北偏东 45°方向，距 A 处(－1)海里的 B 处有一艘走私船.在 A处北偏西 75°方向，距 A 处 2 海里的 C 处的我方缉私船奉命以 10 海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以 10 海里/时的速度，从 B 处向北偏东 30°方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间.解 设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时，才能最快截获(在 D 点)走私船，则 CD＝10t 海里，BD＝10t 海里，在△ABC 中，由余弦定理，有 BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA＝(－1)2＋22－2(－1)·2·cos120°＝6.∴BC＝海里.又 ＝，∴sin∠ABC＝＝＝，∴∠ABC＝45°，∴B 点在 C 点的正东方向上，∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD 中，由正弦定理，得＝，∴sin∠BCD＝＝＝.∴∠BCD＝30°，∴缉私船沿北偏东 60°的方向行驶.又在△BCD 中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，∴∠D＝30°，∴BD＝BC，即 10t＝.∴t＝小时≈15 分钟.∴缉私船应沿北偏东 60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要 15 分钟.规律方法 航海问题是解三角形应用问题中的一类很重要的问题，解决这类问题一定要搞清方位角，再就是选择好不动点，然后根据条件，画出示意图，转化为三角形问题.跟踪演练 1 甲船在 A 点发现乙船在北偏东 60°的 B 处，乙船以每小时 a 海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时 a 海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？解 如图所示.设经过 t 小时两船在 C 点相遇，则在△ABC 中，BC＝at 海里，AC＝at 海里，B＝90°＋30°＝120°，由＝得：sin∠CAB＝＝＝＝. 0°<∠CAB<90...