第二课时 利用数学归纳法证明几何、整除等问题利用数学归纳法证明几何问题[例 1] 平面内有 n(n∈N*)个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，用数学归纳法证明：这 n 个圆把平面分成 f(n)＝n2－n＋2 个部分．[思路点拨] 分清当 n 从 k 变到 k＋1 时，增加了几部分．[精解详析] (1)当 n＝1 时，f(1)＝12－1＋2＝2，一个圆把平面分成两部分，命题成立．(2)假设 n＝k(k∈N*)时，命题成立，即 k 个圆把平面分成 f(k)＝k2－k＋2 个部分．当 n＝k＋1 时，第 k＋1 个圆与其他 k 个圆相交于 2k 个点．第 k＋1 个圆被分成 2k 条弧，而每条弧把原区域分成 2 块，因此这个平面被分成的总区域数增加了 2k 块，即 f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2，故当 n＝k＋1 时命题也成立．根据(1)和(2)，可知命题对任何 n∈N*都成立．[一点通] 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从 k 个变成(k＋1)个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析，在分析不出来的情况下，将 n＝k＋1 和 n＝k 分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧．1．几个半圆的圆心在同一条直线 l 上，这几个半圆每两个都相交，且都在直线 l 的同侧，求证这些半圆被所有的交点最多分成的圆弧段数为 f(n)＝n2.(n≥2，n∈N*)．证明：(1)如图，n＝2 时，两个半圆交于一点，则分成 4 段圆弧，故 f(2)＝4＝22.(2)假设 n＝k 时，f(k)＝k2成立，当 n＝k＋1 时，第 k＋1 个半圆与原 k 个半圆均相交，为获得最多圆弧，任意三个半圆不能交于一点，所以第 k＋1 个半圆把原 k 个半圆中的每一个半圆中的一段弧分成两段弧，这样就多出 k 条圆弧，另外原 k 个半圆把 k＋1 个半圆分成 k＋1 段，这样又多出了 k＋1 段圆弧．所以 f(k＋1)＝k2＋k＋(k＋1)＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2.由(1)，(2)可知命题得证．利用数学归纳法证明整除问题[例 2] 用数学归纳法证明 f(n)＝3×52n＋1＋23n＋1对任意正整数 n，都能被 17 整除．[思路点拨] 证明整除性问题的关键是在命题 f(k＋1)中拼凑出 f(k)的表达式，分析其余项能被 17 整除就可以了．[精解详析] (1)当 n＝1 时，f(1)＝3×53＋24＝17×23，能被 17 整除，命题成立．(2)假设当 n＝k(k≥1，k∈N*)时，f(k)＝3...
