第八章 解三角形1.三角形解的个数的确定已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解这类三角形问题可能出现一解、两解无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”，此时一般用正弦定理，但也可用余弦定理.(1)利用正弦定理讨论：若已知 a、b、A，由正弦定理＝，得 sinB＝.若 sinB>1，无解；若 sinB＝1，一解；若 sinB<1，两解.(2)利用余弦定理讨论：已知 a、b、A.由余弦定理 a2＝c2＋b2－2cbcosA，即 c2－(2bcosA)c＋b2－a2＝0，这是关于 c 的一元二次方程.若方程无解或无正数解，则三角形无解；若方程有唯一正数解，则三角形一解；若方程有两不同正数解，则三角形有两解.2.三角形形状的判定方法判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如：a＝2RsinA，a2＋b2－c2＝2abcosC 等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角恒等式所体现的角之间的关系.如：sinA＝sinB⇔A＝B；sin(A－B)＝0⇔A＝B；sin2A＝sin2B⇔A＝B 或 A＋B＝等；二是利用正弦定理、余弦定理化角为边，如：sinA＝(R 为△ABC 外接圆半径)，cosA＝等，通过代数恒等变换求出三条边之间的关系进行判断.3.解三角形应用题的基本思路解三角形应用题的关键是将实际问题转化为解三角形问题来解决.其基本解题思路是：首先分析此题属于哪种类型的问题(如：测量距离、高度、角度等)，然后依题意画出示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，哪个定理求解，并进行作答.解题时还要注意近似计算的要求.题型一 利用正弦、余弦定理解三角形解三角形的一般方法是：(1)已知两角和一边，如已知 A、B 和 c，由 A＋B＋C＝π 求 C，由正弦定理求 a，b.(2)已知两边和这两边的夹角，如已知 a，b 和 C，应先用余弦定理求 c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用 A＋B＋C＝π，求另一角.(3)已知两边和其中一边的对角，如已知 a，b 和 A，应先用正弦定理求 B，由 A＋B＋C＝π求 C，再由正弦定理或余弦定理求 c，要注意解可能有多种情况.(4)已知三边 a，b，c，可应用余弦定理求 A，B，C.例 1 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，设 a，b，c 满足条件 b2＋c2－bc＝a2和＝＋，求 A 和 tanB 的值.解 由余弦定理 cosA＝＝，0°
