高中数学 第二章 推理与证明 2.3 数学归纳法学案 新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学学案

2.3 数学归纳法学习目标：1.了解数学归纳法的原理．(难点、易混点)2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(重点、难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0开始的所有正整数 n 都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．思考：数学归纳法的第一步 n0的初始值是否一定为 1?[提示]不一定．如证明 n 边形的内角和为(n－2)·180°，第一个值 n0＝3.2．数学归纳法的框图表示[基础自测]1．思考辨析(1)与正整数 n 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．( )(2)数学归纳法的第一步 n0的初始值一定为 1.( )(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可．( )[答案] (1)× (2)× (3)√2．下面四个判断中，正确的是( )A．式子 1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N*)中，当 n＝1 时，式子的值为 1B．式子 1＋k＋k2＋…＋kn－1(n∈N*)中，当 n＝1 时，式子的值为 1＋kC．式子 1＋＋＋…＋(n∈N*)中，当 n＝1 时，式子的值为 1＋＋D．设 f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，则 f(k＋1)＝f(k)＋＋＋C [A 中，n＝1 时，式子＝1＋k；B 中，n＝1 时，式子＝1；C 中，n＝1 时，式子＝1＋＋；D 中，f(k＋1)＝f(k)＋＋＋－.故正确的是 C.]3．如果命题 p(n)对所有正偶数 n 都成立，则用数学归纳法证明时，先验证 n＝________成立. 【导学号：31062162】[答案] 24．已知 Sn＝＋＋＋…＋，则 S1＝________，S2＝________，S3＝________，S4＝________，猜想 Sn＝________.[解析] 分别将 1,2,3,4 代入得 S1＝， S2＝，S3＝，S4＝，观察猜想得 Sn＝.[答案] [合 作 探 究·攻 重 难]用数学归纳法证明等式 (1)用数学归纳法证明(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N*)，“从 k 到 k＋1”左端增乘的代数式为________. 【导学号：31062163】(2)用数学归纳法证明：＋＋…＋＝(n∈N*)．[解析] (1)令 f(n)＝(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，则f(k)＝(k＋1) (k＋2)…(k＋k)，f(k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)，所以＝＝2(2k＋1)．[答案] 2(2k＋1)(2)证明： ①当 n＝1 时，＝成立．② 假设当 n＝k(n∈N*)时等式成立，即有＋＋…＋＝，则当 n＝k＋1 时，＋＋…＋＋＝＋＝，即当 n＝k＋1 时等式也成立．由①②可得对于任意的 n∈N*等式都成立．[规律方法] 用数学归纳法证明恒等式时，应关注以...