2.3 数学归纳法自主预习·探新知情景引入 从前有一位画家，为了测试他的三个徒弟对绘画奥妙的掌握程度，就把他们叫来，让他们用最少的笔墨，画出最多的马．第一个徒弟在卷子上密密麻麻地画了一群马；第二个徒弟为了节省笔墨，只画出许多马头；第三个徒弟在纸上用笔勾画出两座山峰，再从山谷中走出一匹马，后面还有一匹只露出半截身子的马．三张画稿交上去，评判结果是最后一幅画被认定为佳作，构思巧妙，笔墨经济，以少胜多！这第三张画稿只画了一匹半马，为何能胜过一群马呢？你知道其中蕴含的数学原理吗？新知导学 数学归纳法证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行：①(归纳奠基)证明当 n 取__第一个值 n 0( n 0∈ N * ) __时命题成立．②(归纳递推)假设__n ＝ k ( k ≥ n 0， k ∈ N * ) 时命题成立 __，证明__当 n ＝ k ＋ 1 时命题也成立 __.预习自测 1．用数学归纳法证明 1＋2＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，在验证 n＝1 成立时，左边所得的代数式是( C )A．1 B．1＋3C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4[解析] 当 n＝1 时，2n＋1＝2×1＋1＝3，所以左边为 1＋2＋3.故应选 C．2．(2019·玉溪模拟)已知 n 为正偶数，用数学归纳法证明 1－＋－＋…＋－＝2(＋＋…＋)时，若已假设 n＝k(k≥2)为偶数时命题为真，则还需要用归纳假设再证 n＝________时等式成立．( B )A．n＝k＋1 B．n＝k＋2C．n＝2k＋2 D．n＝2(k＋2)[解析] 由数学归纳法的证明步骤可知，假设 n＝k(k≥2)为偶数时命题为真，则还需要用归纳假设再证 n＝k＋2，不是 n＝k＋1，因为 n 是偶数，k＋1 是奇数，故选 B．3．用数学归纳法证明不等式 1＋＋＋…＋>成立时，起始值 n 至少应取为( B )A．7 B．8C．9 D．10[解析] 1＋＋＋…＋＝＝2－＝＝而 1＋＋＋…＋>，故应选 B．4．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，由此推测，当 n>2 时，有__f (2 n )> __.[解析] 自变量的取值依次为 2,4＝22,8＝23,16＝24,32＝25，…，故为 2n.右边分母全为2，分子依次为 3,4,5,6,7，…，故右边为，即 f(2n)>.互动探究·攻重难互动探究解疑 命题方向❶ 用数学归纳法证明等式典例 1 用数学归纳法证明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1＝2n(2n－3)＋3(n∈N*)．[思路分析] 按照数学归纳法证题的步骤进行证明．[解析] (1)当 n＝1 时，左边＝1，右边＝2...
