四 渐开线与摆线互动课堂重难突破 本课时主要了解圆的渐开线与摆线的参数方程，难点是参数方程的建立过程.一、渐开线的产生过程我们可以把一条没有弹性的绳子绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一枝铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线，相应的定圆叫做基圆(如右图).也可以使用计算机在软件中进行模拟渐开线的图象.通过模拟中的动态过程理解渐开线的形状和形成原理,加深对渐开线概念和含义的理解.其实质就是直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹.二、摆线的概念和产生过程圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹.我们可以在自行车轮子上喷一个白色的印记，观察自行车在笔直的道路上运动时形成的轨迹来理解圆的摆线，也可以借助教具或计算机软件，观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹.圆的摆线又叫旋轮线.三、圆的渐开线和摆线的参数方程对于圆的渐开线，我们以基圆圆心 O 为原点，一条直径所在直线为 x 轴建立直角坐标系，根据动点满足的条件和向量的有关性质可以得到圆的渐开线的参数方程为)cos3sin()sincos(φφφ-y=r,φφ+φx=r(φ 为参数).同样道理，根据摆线上任意一点的运动轨迹，取定直线为 x 轴，动点的其中一个位置为原点建立直角坐标系，根据几何知识可得圆的摆线的参数方程为)cos1()sin(φy=r,φφ+x=r(φ 为参数).四、圆的渐开线和摆线的参数方程中的参数 φ 的几何意义根据渐开线的定义和求解参数方程的过程，可知其中的字母 r 是指基圆的半径，而参数φ 是指绳子外端运动时绳子上的定点 M 相对于圆心的张角.如图（1），其中的∠AOB 即是角φ.显然点 M 由参数 φ 唯一确定.在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义，把点的坐标转化为与三角函数有关的问题，使求解过程更加简单.同样，根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程可知其中的字母 r 是指定圆的半径，它决定了摆线的某方面的大小情况.参数 φ 是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小.如图（2），根据参数的几何意义也可以在解决问题中加以引用，简化运算过程.当然这个几何意义还不是很明显，直接使用还要注意其取值的具体情况.1(1)(2)五、用参数方程描述运动规律的特点有些重要但较复杂的曲线(例如圆的渐开线)，建立它们的普通方程比较困难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解，从普通方程看不出曲...
