四 渐开线与摆线课堂探究探究一 圆的渐开线的参数方程解答此类题目，不仅要记住圆的渐开线的参数方程的基本形式，还要知道每个字母所表示的意义．【例题 1】已知圆的直径为 2，其渐开线的参数方程对应的曲线上的 A，B 两点所对应的参数分别是和，求 A，B 两点间的距离．思路分析：先写出圆的渐开线的参数方程，再把 A，B 对应的参数分别代入参数方程可得对应的 A，B 两点的坐标，然后使用两点间的距离公式可得 A，B 间的距离．解：根据条件可知圆的半径是 1，所以对应的渐开线的参数方程是cossin ,sincosxy(φ 为参数)．分别把 φ＝和 φ＝代入，可得 A，B 两点的坐标分别为 33π 3 3π,66π ,12.根据两点间的距离公式可得 A，B 两点间的距离为|AB|＝＝.故 A，B 两点间的距离为.探究二 圆的摆线的参数方程根据圆的摆线的参数方程的表达式 x＝r(φ－sin φ)，y＝r(1－cos φ)(φ 为参数)，可知只需求出其中的 r，就能写出相应圆的摆线方程．摆线的参数方程由圆的半径唯一确定，因此只需把点(1,0)代入参数方程求出 r 值再代入参数方程的表达式即可．【例题 2】已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时对应的摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．思路分析：根据圆的摆线的参数方程(sin ),(1 cos )xryr(φ 为参数)，只需把点(2,0)代入参数方程求出 r 的表达式，根据表达式求出 r 的最大值，再确定对应的摆线和渐开线的参数方程即可．解：令 y＝0，可得 r(1－cos φ)＝0，由于 r＞0，即得 cos φ＝1，所以 φ＝2kπ(k∈Z)．代入 x＝r(φ－sin φ)，得 x＝r(2kπ－sin 2kπ)(k∈Z)．又因为 x＝2，所以 r(2kπ－sin 2kπ)＝2，即得 r＝(k∈Z)．又由实际可知 r＞0，所以 r＝(k∈N*)．易知，当 k＝1 时，r 取最大值为.代入即可得所求圆的摆线的参数方程为11 (sin ),π1 (1 cos )πxy (φ 为参数)；所求圆的渐开线的参数方程为1 (cossin ),π1 (sincos )πxy (φ 为参数)．探究三 易错辨析易错点：考虑 φ 不全面【例题 3】已知一个圆的摆线过一定点(1,0)，请写出该摆线的参数方程．错解：令 r(1－cos φ)＝0 可得 cos φ＝1，所以 φ＝0，代入可得 x＝0.故此题无解．错因分析：在求...
