四 渐开线与摆线1．渐开线的产生过程把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线，相应的定圆叫做基圆．2．摆线的概念及产生过程一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹，叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线．3．圆的渐开线和摆线的参数方程(1)圆的渐开线方程：(φ 为参数)．(2)摆线的参数方程：(φ 为参数)． 求圆的渐开线的参数方程 求半径为 4 的圆的渐开线的参数方程． 关键根据渐开线的生成过程，归结到向量知识和三角的有关知识建立等式关系． 以圆心为原点 O，绳端点的初始位置为 M0，向量 OM0―→的方向为 x 轴正方向，建立坐标系．设渐开线上的任意点 M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为 A，故 OA⊥AM.按渐开线定义，弧的长和线段 AM 的长相等，记OA和 x 轴正向所夹的角为 θ(以弧度为单位)，则|AM|＝＝4θ.作 AB 垂直于 x 轴，过 M 点作 AB 的垂线，由三角函数和向量知识，得OA＝(4cos θ，4sin θ)．由几何知识知∠MAB＝θ，AM＝(4θsin θ，－4θcos θ)，得OM＝OA＋AM＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ)＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ))．又OM＝(x，y)，因此有(θ 是参数)．这就是所求圆的渐开线的参数方程．用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤(1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为 M(x，y)．(2)取定点运动中产生的某一角度为参数．(3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式．(4)用向量运算得到OM的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程．11．圆的渐开线(t 是参数)上与 t＝对应的点的直角坐标为( )A. B.C. D.答案：A2．基圆直径为 10，求其渐开线的参数方程．解：取 φ 为参数，φ 为基圆上点与原点的连线与 x 轴正方向的夹角． 直径为 10，∴半径 r＝5.代入圆的渐开线的参数方程，得这就是所求的圆的渐开线的参数方程. 求摆线的参数方程 求半径为 2 的圆的摆线的参数方程． 利用向量知识和三角函数的有关知识求解． 当圆滚过 α 角时，圆心为点 B，圆与 x 轴的切点为 A，定点 M 的位置如上图所示，∠ABM＝α.由于圆在滚动时不滑动，因此线段 OA 的长和圆弧的长相等，它们的长都等于 2α，从而B 点坐标为(2α，2)，向量OB＝(2α，2)，向量MB＝(2sin α，2cos α)，BM＝(－2sin α，...
