高中数学 第八章 立体几何初步本章总结学案（含解析）新人教A版必修第二册-新人教A版高一必修第二册数学学案VIP专享

第八章 立体几何初步本章总结1．空间几何体的表面积[例 1] 一个直角梯形的上底、下底、高的比为 12，求由它旋转而成的圆台的上底面面积、下底面面积和侧面面积的比．[解] 如图，设上底面半径、下底面半径、高分别为 x、2x、x(x>0)，则母线长 l＝＝2x，∴S 上底面＝πx2，S 下底面＝π(2x)2＝4πx2，S 侧＝π(x＋2x)·2x＝6πx2.∴圆台的上底面面积、下底面面积和侧面面积的比为 146.圆台的轴截面是等腰梯形，作辅助线构造直角梯形和直角三角形，从而利用直角梯形和直角三角形的性质求解.2．空间几何体的体积空间几何体的体积计算公式在实际生活中有着广泛的应用，但只记住公式是远远不够的，我们还应把握图形的内在因素，灵活选择合理的方法加以求解．只有这样才能把所学到的知识灵活运用到现实生活中，才能有效的解决一些问题，达到事半功倍的效果．(1)公式法公式法的思想是：根据题意直接套用体积公式，求出体积．[例 2] 棱长为 a 的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为( )A. B.C. D.[解析] 连接正方体各面中心构成的八面体由两个棱长为 a 的正四棱锥组成，正四棱锥的高为，则八面体的体积为 V＝2××(a)2·＝.[答案] C内接问题为高考常考内容，注意相接点的位置是解决此类问题的关键.(2)割补法割补法的思想是：通过分割或补形将原几何体分割成或补成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积．[例 3] 已知三棱锥 ABCD 的表面积为 S，其内有半径为 r 的内切球 O(球 O 与三棱锥 A-BCD 的每个面都相切，即球心 O 到三棱锥 ABCD 每个面的距离都为 r)，求三棱锥 ABCD 的体积．[解] 连接 AO，BO，CO，DO，则三棱锥 ABCD 被分割成为四个小三棱锥：O-ABC，OABD，OACD，OBCD，并 且 这 四 个 小 三 棱 锥 的 顶 点 都 为 O ， 高 都 为 r ， 底 面 分 别 为△ABC，△ABD，△ACD，△BDC.故我们有：VABCD＝VOABC＋VOABD＋VOACD＋VOBCD＝S△ABC·r＋S△ABD·r＋S△ACD·r＋S△BCD·r＝(S△ABC＋S△ABD＋S△ACD＋S△BCD)r＝Sr.如果三棱锥 ABCD 改为其他棱锥或棱柱、棱台，只要存在内切球，那么就有与本题类似的结论.(3)等积变换法等积变换法的思想是：从不同的角度看待原几何体，通过改变顶点和底面，利用体积不变的原理，来求原几何体的体积．[例 4] 如图所示的三棱锥 OABC 为长方体的一角．其中 OA，OB，OC 两两垂直，三个侧面 OAB...