第四讲 数学归纳法证明不等式单元整合知识网络专题探究专题一 正确使用数学归纳法同学们在刚开始学习数学归纳法时，常常会遇到两个困难，一是数学归纳法的思想实质不容易理解，二是归纳步骤的证明有时感到难以入手．本专题将对两种常见的错误进行讨论、整理，以帮助学生进一步理解数学归纳法的原理，弄清它的实质，从而明确如何正确地使用数学归纳法．(1)缺少数学归纳法的第二步．有人觉得如果一个命题对于开头的一些自然数都成立，那么由 P(k)成立导出 P(k＋1)成立是必然的，因此第二步归纳步骤是流于形式，证与不证似乎一样，显然这是不正确的．产生这种错误想法的原因在于没有认识到归纳步骤所起的递推作用，如果没有递推性，那么一个命题可能对于开头的许多自然数都成立，但是一般的并不成立，我们举几个例子来看看．十七世纪法国卓越的数学家费尔玛考查了形如221n 的数，n＝0,1,2,3,4 时，它的值分别为 3,5,17,257,65 537.这 5 个数都是质数．因此费尔玛就猜想：对于任意的自然数 n，式子 22n＋1 的值都是质数．但是在十八世纪另一位卓越的数学家欧拉指出 n＝5 时，5221 ＝4 294 967 297＝641×6 700 417.是个合数，费尔玛的猜想错了．这就充分说明我们不能把不完全归纳法当成证明，用数学归纳法证明时第二步不可缺少．(2)缺少数学归纳法的第一步．也有人觉得既然第二步归纳步骤中有递推作用，而且 k 又可以任意取值，这样就够了，有没有第一步 P(1)无关紧要．这种认识也是错误的，它忽视了第一步的奠基作用，因为如果没有 P(1)成立，归纳假设 P(k)成立就没有了依据，因此递推性也就成了无源之水，无本之木，下面我们看一个这样的例子．【例】如果不要奠基步骤，我们就可以证明(n＋1)2＋(n＋2)2一定是偶数(n∈N＋)．剖析：假设 n＝k 时命题成立，即(k＋1)2＋(k＋2)2是偶数．当 n＝k＋1 时，[(k＋1)＋1]2＋[(k＋1)＋2]2＝(k＋2)2＋(k＋1)2＋4(k＋1)＋4＝(k＋1)2＋(k＋2)2＋4(k＋2)．由假设(k＋1)2＋(k＋2)2是偶数，又 4(k＋2)也是偶数，所以上式是偶数，这就是说 n＝k＋1 时命题也成立．由此，对于任意的正整数 n，(n＋1)2＋(n＋2)2一定是偶数．这个结论显然是错误的，原因就在于证明中缺少第一步奠基步骤，实际上，n＝1 时，(1＋11)2＋(1＋2)2＝4＋9＝13 不是偶数，这说明使用数学归纳法时缺第一步不可．用数学归纳法证明，对于 n∈N＋，＋＋＋…＋＝.证明：(1)当 n＝1 时，左边＝＝，右边＝，...
