高中数学 第二讲 讲明不等式的基本方法 二 综合法与分析法学案 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学学案VIP专享

二 综合法与分析法学习目标 1.理解综合法、分析法证明不等式的原理和思维特点.2.掌握综合法、分析法证明不等式的方法和步骤.3.会用综合法、分析法证明一些不等式．知识点 综合法与分析法思考 1 在“推理与证明”中，学习过分析法、综合法，请回顾分析法、综合法的基本特征．答案 分析法是逆推证法或执果索因法，综合法是顺推证法或由因导果法．思考 2 综合法与分析法有什么区别和联系？答案 区别：综合法，由因导果，形式简洁，易于表达；分析法，执果索因，利于思考，易于探索．联系：都属于直接证明，常用分析法分析，用综合法表达．梳理 (1)综合法① 定义：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理 、 论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法，综合法又叫顺推证法或由因导果法．② 特点：由因导果，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．③ 证明的框图表示用 P 表示已知条件或已有定义、定理、公理等，用 Q 表示所要证明的不等式，则综合法可用框图表示为→→→…→(2)分析法① 定义：证明命题时，常常从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法．这是一种“执果索因”的思考和证明方法．② 特点：执果索因，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”．③ 证明过程的框图表示用 Q 表示要证明的不等式，则分析法可用框图表示为→→→…→类型一 综合法证明不等式例 1 已知 a，b∈R＋，且 a＋b＝1，求证：2＋2≥.证明 方法一 a，b∈R＋，且 a＋b＝1，∴ab≤2＝.∴2＋2＝4＋(a2＋b2)＋＝4＋[(a＋b)2－2ab]＋＝4＋(1－2ab)＋≥4＋＋＝.∴2＋2≥.方法二 左边＝2＋2＝a2＋b2＋4＋＝4＋a2＋b2＋＋＝4＋a2＋b2＋1＋＋＋＋＋1＝4＋(a2＋b2)＋2＋2＋≥4＋＋2＋2×2＋2··＝4＋＋2＋4＋2＝，∴2＋2≥.反思与感悟 综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键．跟踪训练 1 已知 x＞0，y＞0，且 x＋y＝1，求证：≥9.证明 方法一 x＞0，y＞0，∴1＝x＋y≥2.∴xy≤.∴＝1＋＋＋＝1＋＋＝1＋≥1＋8＝9.当且仅当 x＝y＝时等号成立．方法二 x＋y＝1，x＞0，y＞0，∴＝＝＝5＋2≥5＋2×2＝9.当且...