高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 2.1 比较法课堂导学案 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学学案

2.1 比较法课堂导学三点剖析一,作差法证明不等式【例 1】 (1)已知正数 a,b,c 成等比数列，求证:a2-b2+c2≥(a-b+c)2;(2)设 a,b∈R,求证:a2+b2≥2(a-b-1).思路分析:证明不等式，通常可以看作是比较两式大小的问题.(1)证明: ac=b2,b>0,∴b=ac .∴a2-b2+c2-(a-b+c)2=a2-b2+c2-a2-b2-c2+2ab-2ac+2bc=2ab-2b2-2ac+2bc=2ab-4b2+2bc=2b(a-2b+c)=2b(ca )2≥0.∴a2-b2+c2≥(a-b+c)2.(2)证明: a2+b2-2(a-b-1)=a2+b2-2a+2b+2=a2-2a+1+b2+2b+1=(a-1)2+(b+1)2≥0,∴a2+b2≥2(a-b-1).温馨提示 作差法证明不等式的步骤:作差—变形—判定符号—结论.这里变形的目的是能判断出差式的符号.为此有分解因式和配方两种变形方式,但是,不是每个问题都可用此两种变形方式.能分解因式确定符号的,配方就不能;不能分解因式的,往往能配方确定符号.各个击破类题演练 1已知 a,b 是正数且 a≠b，试探讨能否确定 a3+b3与 a2b+ab2的大小？解析:a3+b3-(a2b+ab2)=(a3-a2b)-(ab2-b3)=a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)(a2-b2)=(a+b)(a-b)2, a,b 是正数，∴a+b>0.又 a≠b,∴(a-b)2>0.∴(a+b)(a-b)2>0.∴a3+b3>a2b+ab2.变式提升 1a,b,c 满足怎样的条件能使 a2b+b2c+c2ab>c>0,求证:a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b.思路分析:证明这种含有幂指数乘积形式的不等式，往往通过作商与 1 比较大小较为容易.证明: a>b>c>0,∴ab+cbc+aca+b>0.作商baaccbcbacbacba222=a2a-b-cb2b-c-ac2c-a-b=aa-baa-cbb-cbb-acc-acc-b=(cbcabacbcaba)()()(.(*) a>b>c>0,∴a-b>0,a-c>0,b-c>0,且1,1,1cbcaba.∴(*)式大于 1.从而 a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b.温馨提示 一般地，应用求商比较时，要注意两式均为正，若两式均为负时，可用同样的方法比较其绝对值的大小,即 BA >1 且 B<0 Ab>0 时, ba >1,a-b>0,∴( ba )a-b>1;② 当 0