高中数学 第四讲 用数学归纳法证明不等式 一 数学归纳法学案 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学学案

一 数学归纳法 1.了解数学归纳法的原理． 2.了解数学归纳法的使用范围． 3.会用数学归纳法证明一些简单问题．1．数学归纳法的定义一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数 n0的所有正整数 n 都成立时，可以用以下两个步骤：(1)证明当 n ＝ n 0 时命题成立．(2)假设当 n ＝ k ( k ∈ N ＋且 k ≥ n 0)时命题成立，证明当 n ＝ k ＋ 1 时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于 n0的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法．2．数学归纳法的步骤(1)(归纳奠基)验证当 n ＝ n 0( n 0 为命题成立的起始自然数 ) 时命题成立；(2)(归纳递推)假设当 n ＝ k ( k ∈ N ＋， 且 k ≥ n 0)时命题成立，推导 n ＝ k ＋ 1 时命题也成立．(3)结论：由(1)(2)可知，命题对一切 n≥n0的自然数都成立．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)归纳法的特点是由一般到特殊．( )(2)在运用数学归纳法时，要注意起点 n 一定取 1.( )(3)数学归纳法得出的结论都是正确的．( )(4)数学归纳法中的两个步骤，第一步是归纳基础，第二步是归纳递推，两者缺一不可．( )(5)数学归纳法第二步不需要假设也可以得出结论．( )答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×2．在用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证( )A．n＝1 成立 B．n＝2 成立1C．n＝3 成立 D．n＝4 成立答案：C3．用数学归纳法证明等式 1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝，当 n＝1 时，左边应为________．解析：因为当 n＝1 时，n＋3＝4.所以左边应为 1＋2＋3＋4.答案：1＋2＋3＋4 用数学归纳法证明恒等式[学生用书 P54] 用数学归纳法证明 1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n≥1，n∈N＋)．【证明】 (1)当 n＝1 时，左边＝1－＝，右边＝，命题成立．(2)假设当 n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即 1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.当 n＝k＋1 时，左边＝1－＋－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋－＝＋＋…＋＋，即当 n＝k＋1 时等式也成立．由(1)和(2)知，等式对一切 n≥1，n∈N＋均成立．利用数学归纳法证明恒等式的注意点利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表达 n＝n0时命题的形式，二是要准确把握由 n＝k 到 n＝k＋1 时，命题结构的变化特点，并且一定要记住：在证明 n＝k＋1 成立时，必须使用归纳假设． 1.用数学归纳法证明：n∈N＋时，＋＋…＋＝.证明：①当 n＝1 ...