第四讲 用数学归纳法证明不等式 对应学生用书 P45考情分析通过分析近三年的高考试题可以看出，不但考查用数学归纳法去证明现成的结论，还考查用数学归纳法证明新发现的结论的正确性．数学归纳法的应用主要出现在数列解答题中，一般是先根据递推公式写出数列的前几项，通过观察项与项数的关系，猜想出数列的通项公式，再用数学归纳法进行证明，初步形成“观察—归纳—猜想—证明”的思维模式利用数学归纳法证明不等式时，要注意放缩法的应用，放缩的方向应朝着结论的方向进行可通过变化分子或分母，通过裂项相消等方法达到证明的目的．真题体验1．(安徽高考)数列{xn}满足 x1＝0，xn＋1＝－x＋xn＋c(n∈N*)．(1)证明：{xn}是递减数列的充分必要条件是 c＜0；(2)求 c 的取值范围，使{xn}是递增数列．解：(1)先证充分性，若 c＜0，由于 xn＋1＝－x＋xn＋c≤xn＋c＜xn，故{xn}是递减数列；再证必要性，若{xn}是递减数列，则由 x2＜x1，可得 c＜0.(2)(i)假设{xn}是递增数列．由 x1＝0，得 x2＝c，x3＝－c2＋2c.由 x1＜x2＜x3，得 0＜c＜1.由 xn＜xn＋1＝－x＋xn＋c 知，对任意 n≥1 都有 xn＜，①注意到－xn＋1＝x－xn－c＋＝(1－－xn)(－xn)，②由①式和②式可得 1－－xn＞0，即 xn＜1－.由②式和 xn≥0 还可得，对任意 n≥1 都有－xn＋1≤(1－)(－xn)．③反复运用③式，得－xn≤(1－)n－1(－x1)＜(1－)n－1.xn＜1－和－xn＜(1－)n－1两式相加，知 2－1＜(1－)n－1对任意 n≥1 成立．根据指数函数 y＝(1－)n的性质，得 2－1≤0，c≤，故 0＜c≤.(ii)若 0＜c≤，要证数列{xn}为递增数列，即 xn＋1－xn＝－x＋c＞0.即证 xn＜对任意 n≥1 成立．下面用数学归纳法证明当 0＜c≤时，xn＜对任意 n≥1 成立．(1)当 n＝1 时，x1＝0＜≤，结论成立．(2)假设当 n＝k(k∈N*)时结论成立，即：xk＜.因为函数 f(x)＝－x2＋x＋c 在区间内单调递增，所以 xk＋1＝f(xk)＜f()＝，这就是说当 n＝k＋1 时，结论也成立．故 xn＜对任意 n≥1 成立．因此，xn＋1＝xn－x＋c＞xn，即{xn}是递增数列．由(i)(ii)知，使得数列{xn}单调递增的 c 的范围是.2．(江苏高考)已知函数 f0(x)＝(x>0)，设 fn(x)为 fn－1(x)的导数，n∈N*.(1)求 2f1＋f2的值；(2)证明：对任意的 n∈N*，等式 nfn－1＋fn＝都成立．解：由已知，得 f1(x)＝f′0(x)＝′＝－，于是 f2(x)＝f′1(x)＝′－′＝－－＋，所以 f1＝－，f2＝－＋.故 2...
