第四讲 用数学归纳法证明不等式本讲优化总结 用数学归纳法证明恒等式[学生用书 P62]证明代数恒等式的关键是：第二步将式子转化成与归纳假设结构相同的形式——凑假设，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论所需要的形式——凑结论． 用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N＋)．【证明】 (1)当 n＝1 时，左边＝12－22＝－3，右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立．(2)假设当 n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)，则当 n＝k＋1 时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2＝－2k2－5k－3＝－(k＋1)(2k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，即当 n＝k＋1 时，等式成立．由(1)(2)可知，对任何 n∈N＋等式都成立． 若 n∈N＋，用数学归纳法证明：cos·cos·cos…cos＝.证明：(1)当 n＝1 时，左边＝cos，右边＝＝cos，左边＝右边，等式成立．1(2)假设 n＝k(k≥1，k∈N＋)时，等式成立，即 cos·cos·cos…cos＝，当 n＝k＋1 时，·cos＝·cos＝·cos＝即当 n＝k＋1 时，等式也成立．由(1)(2)知，等式对 n∈N＋均成立． 用数学归纳法证明不等式[学生用书 P62]证明不等式的题型多种多样，所以不等式的证明是一个难点，在由 n＝k 成立，推导 n＝k＋1 也成立时，过去讲过的证明不等式的方法在此都可以使用，如比较法、放缩法、分析法、反证法等，有时还要考虑与原不等式等价的命题． 设 an＝＋＋…＋(n∈N＋)，求证：n(n＋1)
k(k＋1)＋(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]，(k＋1)2＋＝(k＋1)2＋<(k＋1)2＋＝(k＋2)2＝[(k＋1)＋1]2，所以(k＋1)[(k＋1)＋1]1，a1＝1＋a<，命题成立．(2)假设 n＝k(k∈N＋)时，命题成立．即 1(1－a)＋a＝1.2同时，ak＋1＝...
