高中数学 第四讲 用数学归纳法证明不等式章末小结与测评创新应用教学案 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学教学案

第四讲 用数学归纳法证明不等式不完全归纳的作用在于发现规律，探求结论，但结论是否为真有待证明，因而数学中我们常用归纳——猜想——证明的方法来解决与正整数有关的归纳型和存在型问题． 设数列{an}满足 an＋1＝a－nan＋1，n＝1，2，3，…(1)当 a1＝2 时，求 a2，a3，a4，并由此猜想出数列{an}的一个通项公式．(2)当 a1≥3 时，证明对所有的 n≥1，有① an≥n＋2；②＋＋…＋≤.[解] (1)由 a1＝2，得 a2＝a－a1＋1＝3；由 a2＝3，得 a3＝a－2a2＋1＝4；由 a3＝4，得 a4＝a－3a3＋1＝5.由此猜想：an＝n＋1(n∈N＋)．(2)① 用数学归纳法证明：当 n＝1 时，a1≥3＝1＋2，不等式成立；假设当 n＝k 时，不等式成立，即 ak≥k＋2，那么当 n＝k＋1 时，ak＋1＝a－kak＋1＝ak(ak－k)＋1≥(k＋2)(k＋2－k)＋1＝2(k＋2)＋1≥k＋3＝(k＋1)＋2，也就是说，当 n＝k＋1 时，ak＋1≥(k＋1)＋2.综上可得，对于所有 n≥1，有 an≥n＋2.② 由 an＋1＝an(an－n)＋1 及①，对 k≥2，有ak＝ak－1(ak－1－k＋1)＋1≥ak－1(k－1＋2－k＋1)＋1＝2ak－1＋1≥2·(2ak－2＋1)＋1＝22ak－2＋2＋1≥23ak－3＋22＋2＋1≥…∴ak≥2k－1a1＋2k－2＋…＋2＋1＝2k－1a1＋2k－1－1＝2k－1(a1＋1)－1，于是 1＋ak≥2k－1(a1＋1)，≤·，k≥2.∴＋＋…＋≤＋＝＝·<≤＝.因此，原不等式成立.\在使用数学归纳法证明时，一般说来，第一步验证比较简明，而第二步归纳步骤情况较复杂．因此，熟悉归纳步骤的证明方法是十分重要的，其实归纳步骤可以看作是一个独立的证明问题，归纳假设“P(k)成立”是问题的条件，而“命题 P(k＋1)成立”就是所要证明的结论，因此，合理运用归纳假设这一条件就成了归纳步骤中的关键，下面简要分析一些常用技巧．1．分析综合法用数学归纳法证明关于正整数 n 的不等式，从“P(k)”到“P(k＋1)”，常常可用分析综合法． 求证：＋＋…＋<，n∈N＋.[证明] (1)当 n＝1 时，因为＝<1，所以原不等式成立．(2)假设 n＝k(k≥1，k∈N＋)时，原不等式成立，即有＋＋…＋<，当 n＝k＋1 时，＋＋…＋＋<＋.因此，欲证明当 n＝k＋1 时，原不等式成立，只需证明＋<成立．即证明－>.从而转化为证明>，也就是证明>＋，即()2－(＋)2＝k2＋k＋1－2＝[－1]2>0，从而>＋.于是当 n＝k＋1 时，原不等式也成立．由(1)、(2)可知，对于任意的正整数 n，原不等式都成立．2．放缩法涉及关于正整数 n 的不等式，从“k”过渡到“k＋1”...