高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法 2.2 综合法与分析法课堂探究学案 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学学案VIP专享

2.2 综合法与分析法课堂探究1．如何理解综合法证明不等式剖析：(1)证明的特点．综合法又叫顺推证法或由因导果法，是由已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推出所要证明的结论成立．(2)证明的框图表示．用 P 表示已知条件或已有的不等式，用 Q 表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为→→→…→(3)证明的主要依据．①a－b＞0 a＞b，a－b＝0 a＝b，a－b＜0 a＜b；② 不等式的性质；③ 几个重要不等式：a2≥0(a∈R)，a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，≥(a＞0，b＞0)．名师点拔 使用综合法时要防止因果关系不清晰，逻辑表达混乱等现象．2．如何理解分析法证明不等式剖析：(1)证明的特点．分析法又叫逆推证法或执果索因法，是须从证明的不等式出发，逐步寻找使它成立的充分条件．直到最后把要证明的不等式转化为判定一个明显成立的不等式为止．(2)证明过程的框图表示．用 Q 表示要证明的不等式，则分析法可用框图表示为←…←←←3．综合法和分析法的优点剖析：综合法的优点是结构整齐，而分析法更容易找到证明不等式的突破口，所以通常是分析法找思路，综合法写步骤．名师点拔 分析法证明不等式是“逆求”，而绝不是逆推，即寻找的是充分条件，而不是必要条件． 题型一 综合法证明不等式【例 1】已知 a，b＞0，且 a＋b＝1，求证：2＋2≥.分析：本题中条件 a＋b＝1 是解题的重点，由基本不等式的知识联想知应由重要不等式来变形出要证明的结论，本题 a＋b＝1，也可以视为是“1”的代换问题．证法一：不等式左边＝2＋2＝a2＋b2＋4＋＝4＋a2＋b2＋＋＝4＋a2＋b2＋1＋＋＋＋＋1＝4＋(a2＋b2)＋2＋2＋≥4＋＋2＋2×2＋2··＝4＋＋2＋4＋2＝，即原不等式成立．证法二： a，b＞0，且 a＋b＝1，∴ab≤2＝.∴2＋21＝4＋(a2＋b2)＋＝4＋[(a＋b)2－2ab]＋＝4＋(1－2ab)＋≥4＋＋＝.∴2＋2≥.反思 (1)综合法证明不等式，揭示了条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知条件，这是证明的关键．(2)综合法证明不等式中所依赖的已知不等式主要是重要不等式，其中常用的有如下几个：①a2≥0(a∈R)．②(a－b)2≥0(a，b∈R)，其变形有：a2＋b2≥2ab，2≥ab，a2＋b2≥(a＋b)2.③ 若 a，b 为正实数，≥.特别＋≥2.④a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.题型二 分析法证明不等式【例 2】已知 a＞b＞0，求证：＜－＜.分析：本题要证明的不等式显得较为复杂，由...