高中数学 第四章 导数应用 1 函数的单调性与极值学案 北师大版选修1-1-北师大版高二选修1-1数学学案

§1 函数的单调性与极值1．1 导数与函数的单调性函数 f(x)＝x2－2x－2 的图像如图所示：问题 1：当 x0∈(－∞，1)时，函数在(x0，f(x0))处的切线斜率 f′(x0)大于零还是小于零？提示：小于零．问题 2：函数 f(x)＝x2－2x－2 在(－∞，1)上单调性如何？提示：是减少的．问题 3：当 x0∈(1，＋∞)时，函数在(x0，f(x0))处的切线斜率 f′(x0)大于零还是小于零？提示：大于零．问题 4：f(x)＝x2－2x－2 在(1，＋∞)上单调性如何？提示：是增加的．函数在区间(a，b)上的单调性与其导函数的符号关系导函数的正负函数在(a，b)上的单调性f′(x)＞0是增加的f′(x)＜0是减少的1．求函数的单调区间先求函数的定义域，再求导数 f′(x)，令 f′(x)>0，得单调增区间，令 f′(x)<0 得单调减区间．2．在某个区间内 f′(x)>0(f′(x)<0)是函数 f(x)在此区间内为增(减)函数的充分条件，而不是必要条件．如果出现个别点使 f′(x)＝0，不会影响函数 f(x)在包含该点的某个区间内的单调性．例如函数 f(x)＝x3在定义域(－∞，＋∞)上是增加的，但由 f′(x)＝3x2知，f′(0)＝0，即并不是在定义域内的任意一点处都满足 f′(x)>0.求函数的单调区间[例 1] 求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x2－ln x；(2)f(x)＝；(3)f(x)＝－x3＋3x2.[思路点拔] 根据求可导函数单调区间的基本步骤求解．[精解详析] (1)函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝2x－＝.因为 x＞0，所以 x＋1＞0，由 f′(x)＞0，解得 x＞，所以函数 f(x)的单调递增区间为；由 f′(x)＜0，解得 x＜，又 x∈(0，＋∞)，所以函数 f(x)的单调递减区间为.(2)函数 f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．f′(x)＝＝.因为 x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以 ex＞0，(x－2)2＞0.由 f′(x)＞0，解得 x＞3，所以函数 f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；由 f′(x)＜0，解得 x＜3，又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数 f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．(3)由 f(x)＝－x3＋3x2。得 f′(x)＝－3x2＋6x＝－3x(x－2)．由 f′(x)＞0，解得 0＜x＜2，因此，函数在区间(0,2)上是单调递增的；由 f′(x)＜0，解得 x＞2 或 x＜0，因此，函数在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上是单调递减的．故函数 f(x)的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(－∞，0)和(2，＋∞)．[一点通] 1．求函数单调区间的步骤：2．含有参数的函数求单调区间时应注意分类讨论．1．下列函数中在区间(...