高中数学 第四章 导数应用 1.1 导数与函数的单调性学案（含解析）北师大版选修1-1-北师大版高二选修1-1数学学案

1．1 导数与函数的单调性学习目标 1.了解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断(证明)函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间．知识点一 导函数的符号与函数的单调性的关系(1)在区间(a，b)内函数导数的符号与函数单调性有如下关系：导函数的正、负函数的单调性f′(x)>0增加的f′(x)<0减少的f′(x)＝0常函数(2)在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：函数的单调性导函数的正、负增加的f′(x)≥0减少的f′(x)≤0常函数f′(x)＝0特别提醒：(1)若在某区间上有有限个点使 f′(x)＝0，在其余的点恒有 f′(x)>0，则 f(x)仍是增加的(减少的情形完全类似)．(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x∈(a，b)都有 f′(x)≥0 且在(a，b)内的任一非空子区间上 f′(x)不恒为 0.知识点二 函数的变化快慢与导函数的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图像就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图像就“平缓”一些．1．函数的导数越小，函数值的变化越慢，函数的图像就越“平缓”．( × )2．函数在某一点处的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．( × )3．函数在某个区间上变化的越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．( √ )4．若 f(x)在区间(a，b)上可导，则“f′(x)>0”是“f(x)在(a，b)上是增加的”的充要条件．( × )5．若 f(x)的图像在[a，b]上是一条连续曲线，且 f(x)在(a，b)上 f′(x)<0，则 f(x)在[a，b]上是减少的．( √ )1题型一 原函数和导函数图像之间的关系例 1 已知函数 y＝f(x)的图像如图所示，则函数 y＝f′(x)的图像可能是图中的( )考点 函数变化的快慢与导数的关系题点 根据原函数的图像确定导函数的图像答案 C解析 由函数 y＝f(x)的图像的增减变化趋势判断函数 y＝f′(x)的正、负情况如下表：x(－1，b)(b，a)(a,1)f(x)↘↗↘f′(x)－＋－由表可知函数 y＝f′(x)的图像，当 x∈(－1，b)时，函数图像在 x 轴下方；当 x∈(b，a)时，函数图像在 x 轴上方；当 x∈(a,1)时，函数图像在 x 轴下方．故选 C.反思感悟 1.对于原函数图像，要看其在哪个区间内是增加的，则在此区间内导数值大于零．在哪个区间内是减少的，则在此区间内导数值小于零．根据导数值的正负可判定导函数图像．2．对于导函数的图像可确定原函数的递增(减)区间及增减快慢．跟踪训练 1 函数 y＝f(x)...