二 圆内接四边形的性质与判定定理1．圆内接四边形的性质(1)圆的内接四边形对角互补．如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，则有：∠A＋∠ C ＝180°，∠B＋∠ D ＝180°.(2)圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．如图，∠CBE 是圆内接四边形 ABCD 的一外角，则有∠CBE＝∠ D .2．圆内接四边形的判定(1)判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．(2)推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．圆内接四边形的性质 如图，AB 是⊙O 的直径，弦 BD，CA 的延长线相交于点 E，EF 垂直BA 的延长线于点 F.求证：∠DEA＝∠DFA. 本题主要考查圆内接四边形判定及性质的应用．解题时，证A ，D，E，F 四点共圆后可得结论． 连接 AD，因为 AB 为圆的直径，所以∠ADB＝90°.又 EF⊥AB，∠EFA＝90°，所以 A，D，E，F 四点共圆．所以∠DEA＝∠DFA.圆内接四边形的性质即对角互补，一个外角等于其内角的对角，可用来作为三角形相似的条件，从而证明一些比例式成立或证明某些等量关系．1．圆内接四边形 ABCD 中，已知∠A，∠B，∠C 的度数比为 4∶3∶5，求四边形各角的度数．解：设∠A，∠B，∠C 的度数分别为 4x,3x,5x，则由∠A＋∠C＝180°，可得 4x＋5x＝180°，∴x＝20°.1∴∠A＝4×20°＝80°，∠B＝3×20°＝60°，∠C＝5×20°＝100°，∠D＝180°－∠B＝120°.2.已知：如图，四边形 ABCD 内接于圆，延长 AD，BC 相交于点E，点 F 是 BD 的延长线上的点，且 DE 平分∠CDF.(1)求证：AB＝AC；(2)若 AC＝3 cm，AD＝2 cm，求 DE 的长．解：(1)证明： ∠ABC＝∠2，∠2＝∠1＝∠3，∠4＝∠3，∴∠ABC＝∠4.∴AB＝AC.(2) ∠3＝∠4＝∠ABC，∠DAB＝∠BAE，∴△ABD∽△AEB.∴＝. AB＝AC＝3 cm，AD＝2 cm，∴AE＝＝ cm.∴DE＝－2＝(cm).圆内接四边形的判定 如图，在△ABC 中，E，D，F 分别为 AB，BC，AC 的中点，且 AP⊥BC 于 P.求证：E，D，P，F 四点共圆． 可先连接 PF，构造四边形 EDPF 的外角∠FPC，证明∠FPC＝∠C，再证明∠FPC＝∠FED 即可． 如图，连接 PF， AP⊥BC，F 为 AC 的中点，∴PF＝AC. FC＝AC，∴PF＝FC.∴∠FPC＝∠C. E，F，D 分别为 AB，AC，BC 的中点．∴EF∥CD，ED∥FC.∴四边形 EDCF 为平行四边形，∴∠FED＝∠C.∴∠FPC＝∠FED.∴E，D，P，F 四点共圆．证明四点共圆的常见方法：(1)如果四点与一...
