四 弦切角的性质弦切角定理(1)文字语言叙述：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．(2)图形语言叙述：如图，AB 与⊙O 切于 A 点，则∠BAC＝∠ D . 弦切角的度数等于它所夹弧度数的一半，圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，圆心角的度数等于它所对弧的度数．弦切角定理 如图，已知圆上的 ¼AC ＝ »BD ，过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线交于 E 点．证明：(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE·CD. 利用弦切角定理． (1)因为 ¼AC ＝ »BD ，所以∠BCD＝∠ABC.又因为 EC 与圆相切于点 C，所以∠ACE＝∠ABC.所以∠ACE＝∠BCD.(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB.故＝，即 BC2＝BE·CD.利用弦切角定理进行计算、证明时，要特别注意弦切角所夹弧所对的圆周角，有时与圆的直径所对的圆周角结合运用，同时要注意根据题目的需要添加辅助线构造所需要的弦切角．1．如图，CD 是⊙O 的切线，T 为切点，A 是 »TB 上的一点，若∠TAB＝100°，则∠BTD 的度数为( )1A．20° B．40° C．60 ° D．80°解析：选 D 如图，作四边形 ABET，因为四边形 ABET 是圆内接四边形，所以∠E＝180°－∠TAB＝80°.又 CD 是⊙O 的切线，T 为切点，所以∠BTD＝∠E＝80°.2．如图，AB 是⊙O 的弦，CD 是经过⊙O 上的点 M 的切线，求证：(1)如果 AB∥CD，那么 AM＝MB；(2)如果 AM＝BM，那么 AB∥CD.证明：(1) CD 切⊙O 于 M 点，∴∠CMA＝∠B. AB∥CD，∴∠CMA＝∠A.∴∠A＝∠B.∴AM＝MB.(2) AM＝BM，∴∠A＝∠B. CD 切⊙O 于 M 点，∠CMA＝∠B，∴∠CMA＝∠A.∴AB∥CD.3.如图，已知 AB 是⊙O 的直径，直线 CD 与⊙O 相切于点 C，AC 平分∠DAB.(1)求证：AD⊥CD；(2)若 AD＝2，AC＝，求 AB 的长．解：(1)证明：如图，连接 BC. 直线 CD 与⊙O 相切于点 C，∴∠DCA＝∠B. AC 平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB.∴∠ADC＝∠ACB. AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠ADC＝90°，即 AD⊥CD.(2) ∠DCA＝∠B，∠DAC＝∠CAB，∴△ADC∽△ACB.∴＝，∴AC2＝AD·AB. AD＝2，AC＝，∴AB＝.2运用弦切角定理证明比例式或乘积式 如 图 ， PA ， PB 是 ⊙ O 的 切 线 ， 点 C 在 »AB 上，CD⊥AB，CE⊥PA，CF⊥PB，垂足分别为 D，E，F.求证：CD2＝CE·CF. ―→→→ 连接 CA，CB. PA，PB 是⊙O 的切线，∴∠CAP＝∠CBA，∠CBP＝∠CAB.又 CD⊥AB，CE⊥PA，CF...
