高中数学 第二讲 直线与园的位置关系 五 与圆有关的比例线段学案（含解析）新人教A版选修4-1-新人教A版高二选修4-1数学学案VIP专享

五 与圆有关的比例线段1．相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，弦AB 与 CD 相交于 P 点，则 PA·PB＝PC · PD .2．割线有关定理(1)割线定理：① 文字叙述：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．② 图形表示：如图，⊙O 的割线 PAB 与 PCD，则有 PA · PB ＝ PC · PD .(2)切割线定理：① 文字叙述：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；② 图形表示：如图，⊙O 的切线 PA，切点为 A，割线 PBC，则有 PA 2 ＝ PB · PC .3．切线长定理(1)文字叙述：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．(2)图形表示：如图，⊙O 的切线 PA，PB，则 PA＝PB，∠OPA＝∠ OPB .相交弦定理 如图，已知在⊙O 中，P 是弦 AB 的中点，过点 P 作半径 OA 的垂线分别交⊙O 于 C，D 两点，垂足是点 E.求证：PC·PD＝AE·AO. 由相交弦定理知 PC·PD＝AP·PB，又 P 为 AB 的中点，∴PC·PD＝AP2.在 Rt△PAO 中再使用射影定理即可． 连接 OP. P 为 AB 的中点，∴OP⊥AB，AP＝PB. PE⊥OA，∴AP2＝AE·AO. PD·PC＝PA·PB＝AP2，∴PD·PC＝AE·AO.1相交弦定理的运用多与相似三角形联系在一起，也经常与垂径定理、射影定理、直角三角形的性质相结合证明某些结论．1．已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为 12 cm 和 16 cm 两段，第二条弦的长为 32 cm，求第二条弦被交点分成的两段长．解：设第二条弦被交点分成的一段长为 x cm，则另一段长为(32－x) cm.由相交弦定理得 x(32－x)＝12×16，解得 x＝8 或 24，故另一段长为 32－8＝24(cm)或 32－24＝8(cm)，所以另一条弦被交点分成的两段长分别为 8 cm 和 24 cm.2．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，OM＝ON，P 是⊙O 上的点，PM，PN的延长线分别交⊙O 于 Q，R.求证：PM·MQ＝PN·NR.⇒PM·MQ＝PN·NR.切割线定理 如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为 B，ADE，CFD，CGE 都是⊙O 的割线，已知 AC＝AB.证明：(1)AD·AE＝AC2；(2)FG∥AC. (1)利用切割线定理；(2)证△ADC∽△ACE. (1) AB 是⊙O 的一条切线，ADE 是⊙O 的割线，∴由切割线定理得 AD·AE＝AB2.又 AC＝AB，∴AD·AE＝AC2.(2)由(1)得＝，又∠EAC＝∠DAC，∴△ADC∽△ACE.∴∠ADC＝∠ACE.又...